2009-北京卷理-15 解-解三角形

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系、两角和的正弦公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 在 $\Delta ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，$B=\frac{\pi }{3}$，$\cos A=\frac{4}{5}$，$b=\sqrt{3}$.

(1) 求 $\sin C$ 的值；

(2) 求 $\Delta ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据 $\cos A$ 的值利用平方关系求出 $\sin A$，再利用三角形内角和性质将 $\sin C$ 转化为 $\sin (A+B)$，展开求值。
2. 第二问：利用正弦定理由 $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$ 求出边 $a$，最后代入面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 计算结果。

✅【答案】

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（1）由0<𝐴<π且cos𝐴=45>0，得𝐴为锐角，从而sin𝐴=3

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为 $A$ 是 $\Delta ABC$ 的内角，且 $\cos A=\frac{4}{5}>0$， 所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$。 因为 $A+B+C=\pi$，所以 $C=\pi -(A+B)$。 故 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$。 将 $B=\frac{\pi }{3}$ 对应的 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos B=\frac{1}{2}$ 代入上式得： $\sin C=\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$

(2) 根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，可得： $a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{\sqrt{3}\times \frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6}{5}$ 根据三角形面积公式： $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times \frac{6}{5}\times \sqrt{3}\times \frac{3+4\sqrt{3}}{10}=\frac{3\sqrt{3}(3+4\sqrt{3})}{50}=\frac{36+9\sqrt{3}}{50}$ 故 $\Delta ABC$ 的面积为 $\frac{36+9\sqrt{3}}{50}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和的正弦展开式；正弦定理求边长；三角形面积公式的综合应用。
2. 核心方法：两角和差化归法（利用 $A+B+C=\pi$ 实现未知角向已知角的精准转化）。
3. 避坑指南：第一问求出 $\sin C$ 后切勿直接去算角 $C$ 的大小，直接保留正弦值代入第二问即可；第二问计算面积时，注意根式的乘法分配律与分母统配。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材解三角形章节中正弦定理与三角恒等变换的基本大题模型，是历年高考解答题的第一道常规题型。
2. 结论推广：在任意三角形中，已知一角及该角对边，则外接圆直径 $2R=\frac{b}{\sin B}$ 固定，其余两边均可直接表示为 $2R\sin A$ 与 $2R\sin C$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数