2011-上海卷理-08 填-三角函数

本题导读

本题考查诱导公式，以及积化和差公式 / 辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 函数 $y=\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用诱导公式化简：$\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$。
2. 展开 $\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=\cos \frac{\pi }{6}\cos x+\sin \frac{\pi }{6}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x$。
3. 原式化为 $y=\cos x\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}{\cos }^{2}x$。
4. 升幂降次化为角 $2x$ 的单一正弦型函数求最值；或直接套用积化和差公式。

✅【答案】

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$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一（展开降次法）： 由诱导公式，$\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$。 原函数可化为： $y=\cos x\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$ 将 $\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$ 展开： $\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=\cos \frac{\pi }{6}\cos x+\sin \frac{\pi }{6}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x$ 代入原式： $y=\cos x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\cos }^{2}x+\frac{1}{2}\sin x\cos x$ 利用二倍角及降次公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$，$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$： $y=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x$ $=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{4}\cos 2x$ $=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right)$ $=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 因为 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)⩽1$，所以： $y_{\max }=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

方法二（积化和差公式法）： $y=\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$ $=\frac{1}{2}\left[\sin \left(\left(\frac{\pi }{2}+x\right)+\left(\frac{\pi }{6}-x\right)\right)+\sin \left(\left(\frac{\pi }{2}+x\right)-\left(\frac{\pi }{6}-x\right)\right)\right]$ $=\frac{1}{2}\left[\sin \frac{2\pi }{3}+\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\right]$ $=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 当 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=1$ 时，$y$ 取得最大值： $y_{\max }=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$ 故答案为：$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$（或 $\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：诱导公式 $\sin (\frac{\pi }{2}+x)=\cos x$、积化和差公式或二倍角降次公式、辅助角公式。
• 核心方法：积化和差直接消去交叉变量项，一步化简为 $\sin (2x+\phi )$ 型结构最为高效。
• 避坑指南：展开降次时常数项 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 不可遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版/沪教版三角恒等变换章节中关于“两角和与差的三角公式综合应用”的经典最值考题。
• 结论推广：形如 $\cos (x+\alpha )\cos (x+\beta )$ 或 $\sin (x+\alpha )\cos (x+\beta )$ 展开后其最大值恒为 $\frac{1\pm \cos (\alpha -\beta )}{2}$ 或 $\frac{1\pm \sin (\alpha +\beta )}{2}$ 形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1993-新高考理-08
• 1977-上海理-01(4）