2009-四川卷文-16 填-线性变换新定义

本题导读

考查新定义理解。①取 $\lambda =\mu =1$ 真；②$f(\mathbf{a})=\mathbf{a}+\mathbf{e}$ 不满足可加性，假；③数乘 $-1$ 是线性变换，真；④取 $\mu =0$ 真。真命题为①③④。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合.对于映射 $f:V\to V$，$\mathbf{a}\in V$，记 $\mathbf{a}$ 的象为 $f(\mathbf{a})$.若映射 $f:V\to V$ 满足：对所有 $\mathbf{a},\mathbf{b}\in V$ 及任意实数 $\lambda ,\mu$ 都有 $f(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})=\lambda f(\mathbf{a})+\mu f(\mathbf{b})$，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换.现有下列命题： ①设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，$\mathbf{a},\mathbf{b}\in V$，则 $f(\mathbf{a}+\mathbf{b})=f(\mathbf{a})+f(\mathbf{b})$； ②若 $\mathbf{e}$ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 $\mathbf{a}\in V$，设 $f(\mathbf{a})=\mathbf{a}+\mathbf{e}$，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换； ③对 $\mathbf{a}\in V$，设 $f(\mathbf{a})=-\mathbf{a}$，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换； ④设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，$\mathbf{a}\in V$，则对任意实数 $k$ 均有 $f(k\mathbf{a})=kf(\mathbf{a})$. 其中真命题是 $\underline{}$．（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①真：定义中取 $\lambda =\mu =1$ 即得。
2. ②假：$f(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}+\mathbf{e}$，而 $\lambda f(\mathbf{a})+\mu f(\mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}+(\lambda +\mu )\mathbf{e}$，一般不相等。
3. ③真：$f(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})=-(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})=\lambda (-\mathbf{a})+\mu (-\mathbf{b})$。
4. ④真：定义中取 $\mu =0$，$\lambda =k$ 即得。

✅【答案】

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①③④

✍【详细解析】

Abstract

①真：在定义式中取 $\lambda =\mu =1$，得 $f(\mathbf{a}+\mathbf{b})=f(\mathbf{a})+f(\mathbf{b})$。 ②假：$f(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}+\mathbf{e}$， 而 $\lambda f(\mathbf{a})+\mu f(\mathbf{b})=\lambda (\mathbf{a}+\mathbf{e})+\mu (\mathbf{b}+\mathbf{e})=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}+(\lambda +\mu )\mathbf{e}$， 两者一般不相等（如取 $\lambda =\mu =1$），故 $f$ 不是线性变换。 ③真：$f(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})=-\lambda \mathbf{a}-\mu \mathbf{b}=\lambda f(\mathbf{a})+\mu f(\mathbf{b})$。 ④真：在定义式中取 $\mu =0$，得 $f(\lambda \mathbf{a})=\lambda f(\mathbf{a})$，即 $f(k\mathbf{a})=kf(\mathbf{a})$。 综上，真命题为①③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义概念的逐项判定

核心方法：线性变换=可加+齐次，取特殊 $\lambda ,\mu$ 验证

避坑指南：②的平移映射多出常数项 $(\lambda +\mu )\mathbf{e}$ 与 $\mathbf{e}$ 不匹配；新定义题只认定义式，不凭感觉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：①④是线性变换的两条基本性质（可加性、齐次性），取 $\lambda =\mu =1$、$\mu =0$ 即得。

结论推广：验证映射是线性变换要”对所有”向量与实数成立；否定只需一组反例。

方法推广：③即数乘 $-1$ 的映射，任何数乘映射都是线性变换。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

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