2007-四川卷文-16 填-五命题真假判断

本题导读

本题考查三角函数的最小正周期，以及图象平移变换。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 下面有五个命题： ① 函数 $y={\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x$ 的最小正周期是 $\pi$； ② 终边在 $y$ 轴上的角的集合是 $\left\{\alpha \mid \alpha =\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$； ③ 在同一坐标系中，函数 $y=\sin x$ 的图象和函数 $y=x$ 的图象有三个公共点； ④ 把函数 $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 得到 $y=3\sin 2x$ 的图象； ⑤ 角 $\theta$ 为第一象限角的充要条件是 $\sin \theta >0$． 其中真命题的序号是 $\underline{}$．（写出所有）

🔍【思路分析】

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1. ①：${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=-\cos 2x$，周期为 $\pi$，真。
2. ②：终边在 $y$ 轴上的角应为 $\alpha =\frac{(2k+1)\pi }{2}$；$\frac{k\pi }{2}$ 还包含终边在 $x$ 轴上的角，假。
3. ③：$h(x)=x-\sin x$ 满足 $h^{\prime }(x)=1-\cos x⩾0$ 且仅在 $x=0$ 处取零，$h$ 递增，$\sin x=x$ 只有一解，假。
4. ④：把 $x$ 换成 $x-\frac{\pi }{6}$：$3\sin \left(2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{3}\right)=3\sin 2x$，真。
5. ⑤：$\theta =\frac{3\pi }{4}$ 时 $\sin \theta >0$ 但 $\theta$ 是第二象限角，非充要，假。

✅【答案】

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①④

✍【详细解析】

Abstract

逐一判断． ①：${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)=-\cos 2x$，最小正周期为 $\pi$，真命题． ②：终边在 $y$ 轴上的角为 $\alpha =(2k+1)\cdot \frac{\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$）；集合 $\left\{\alpha \mid \alpha =\frac{k\pi }{2}\right\}$ 还包含终边在 $x$ 轴上的角，假命题． ③：令 $h(x)=x-\sin x$，则 $h^{\prime }(x)=1-\cos x⩾0$，且除 $x=0$ 外不恒为零，故 $h$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，方程 $\sin x=x$ 只有一个解 $x=0$，即两图象只有一个公共点，假命题． ④：向右平移 $\frac{\pi }{6}$，即把 $x$ 换为 $x-\frac{\pi }{6}$： $3\sin \left(2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{3}\right)=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=3\sin 2x$，真命题． ⑤：$\theta$ 为第一象限角时 $\sin \theta >0$ 成立；反之，$\theta =\frac{3\pi }{4}$ 时 $\sin \theta >0$，但 $\theta$ 是第二象限角，故不是充要条件，假命题． 综上，真命题的序号是①④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：五命题真假判断

核心方法：①化 $-\cos 2x$ 周期 $\pi$；④代入 $x\to x-\frac{\pi }{6}$ 得 $3\sin 2x$；②③⑤各找一处反例

避坑指南：②终边在 $y$ 轴是 $\frac{(2k+1)\pi }{2}$，$\frac{k\pi }{2}$ 混入了 $x$ 轴终边；⑤ $\sin \theta >0$ 是第一象限的必要不充分条件，方向别搞反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多命题真假判断自 2009 年起成为四川卷 16 题固定题型

结论推广：推广到含新定义、含不等式的复合命题组合判断

方法推广：逐命题独立判断：恒等变形给”真”，构造具体反例给”假”，最后按题意写出全部序号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练(Links)

• 2012-四川卷文-16 填-不等式真命题判断
• 2011-安徽卷文-15 填-辅助角恒成立多选判断
• 2009-四川卷文-16 填-线性变换新定义
• 2009-山东卷文-03 单-三角图象平移