2009-四川卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查二倍角公式、两角和公式以及正弦定理在解三角形中的综合应用。第一问核心在于通过角的范围准确进行因式开方，第二问利用正弦定理将边长关系转化为三角比关系求解。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$A,B$ 为锐角，角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$，且 $\cos 2A=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}$．

(1) 求 $A+B$ 的值；

(2) 若 $a-b=\sqrt{2}-1$，求 $a,b,c$ 的值．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由 $\cos 2A$ 的二倍角公式求出 $\sin A$ 和 $\cos A$；由 $\sin B$ 结合锐角条件求出 $\cos B$。利用两角和的余弦公式计算 $\cos (A+B)$，再结合角的范围确定 $A+B$ 的值。
2. 第二问：利用正弦定理 $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}$ 找到 $a,b$ 的数量关系，联立已知条件 $a-b=\sqrt{2}-1$ 解出 $a,b$。再利用三角形内角和求出 $C$，由正弦定理计算出 $c$。

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$a=\sqrt{2}$， $b=1$， $c=\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $A$ 为锐角，所以 $2A\in (0,\pi )$。 由 $\cos 2A=1-2{\sin }^{2}A=\frac{3}{5}$，解得 ${\sin }^{2}A=\frac{1}{5}$。 因为 $A$ 为锐角，所以 $\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$， 从而 $\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

因为 $B$ 为锐角，且 $\sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}$， 所以 $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

由此可得： $\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ $\cos (A+B)=\frac{2\sqrt{5}}{5}\times \frac{3\sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{5}}{5}\times \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{6\sqrt{50}}{50}-\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{50}}{50}=\frac{5\times 5\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

因为 $A,B$ 均为锐角，所以 $A+B\in (0,\pi )$。 由 $\cos (A+B)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得： $A+B=\frac{\pi }{4}$

(2) 由正弦定理得： $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\sqrt{2}⟹a=\sqrt{2}b$

将 $a=\sqrt{2}b$ 代入 $a-b=\sqrt{2}-1$ 中，得： $\sqrt{2}b-b=\sqrt{2}-1⟹b(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}-1⟹b=1$ 从而 $a=\sqrt{2}$。

由 (1) 知 $A+B=\frac{\pi }{4}$，则 $C=\pi -(A+B)=\frac{3\pi }{4}$。 所以 $\sin C=\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

再由正弦定理 $\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $c=b\times \frac{\sin C}{\sin B}=1\times \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{10}=\sqrt{5}$

综上所述，$a=\sqrt{2}$， $b=1$， $c=\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式的降幂与开方应用；两角和与差的余弦公式；正弦定理的边角互化。
2. 核心方法：代数方程法求解三角形边长。
3. 避坑指南：计算三角函数开方时，必须严格紧扣已知条件“$A,B$为锐角”，不能漏掉符号讨论；在求得 $\cos (A+B)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，需说明 $A+B\in (0,\pi )$ 从而排除了 $-\frac{\pi }{4}$ 的可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“解三角形”与“三角恒等变换”的交汇综合题，是新课标高考解答题前两道大题位置的常规送分题型，旨在考查考生的基础公式记忆与代数计算功底。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若确定了任意两个角的三角函数值，则整个三角形的形状（三个内角的比例关系）即被唯一确定。若再给出两边的差或和，通过正弦定理方程组即可完全解出三边长。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数