2009-大纲卷I文-16 填-平行线倾斜角

本题导读

考查直线与平行线相交的弦长。截面线段在两平行线上的端点连线垂直分量即平行线间距离 $\sqrt{2}$，由 $\sin \theta =\frac{1}{2}$ 得夹角 $30^{\circ }$，倾斜角为 $45^{\circ }\pm 30^{\circ }$，即 $15^{\circ }$ 或 $75^{\circ }$（①⑤）。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 若直线 $m$ 被两平行线 $l_1:x-y+1=0$ 与 $l_2:x-y+3=0$ 所截得的线段的长为 $2\sqrt{2}$，则 $m$ 的倾斜角可以是 ① $15^{\circ }$　② $30^{\circ }$　③ $45^{\circ }$　④ $60^{\circ }$　⑤ $75^{\circ }$ 其中正确答案的序号是 $\underline{}$.（写出所有正确答案的序号）

🔍【思路分析】

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1. 两平行线间距离 $d=\frac{|3-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
2. 设 $m$ 与平行线所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{d}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\theta =30^{\circ }$。
3. 平行线倾斜角 $45^{\circ }$，故 $m$ 的倾斜角为 $45^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }$ 或 $45^{\circ }+30^{\circ }=75^{\circ }$。

✅【答案】

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①⑤

✍【详细解析】

Abstract

两平行线 $l_1:x-y+1=0$ 与 $l_2:x-y+3=0$ 之间的距离为 $d=\frac{|3-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。 直线 $m$ 被截得的线段长为 $2\sqrt{2}$，设 $m$ 与平行线所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2},\theta =30^{\circ }.$ 两平行线的倾斜角为 $45^{\circ }$，故直线 $m$ 的倾斜角为 $45^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }$ 或 $45^{\circ }+30^{\circ }=75^{\circ }$，在 $0^{\circ }⩽\alpha <180^{\circ }$ 内只有 $\alpha =15^{\circ }$ 与 $\alpha =75^{\circ }$ 满足。 故正确答案的序号是①⑤。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两平行线间的距离与直线倾斜角

核心方法：弦长—距离构造直角三角形

避坑指南：$\sin \theta =\frac{d}{\text{截线段长}}$；倾斜角为平行线倾斜角 $\pm \theta$，两解都要检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平行线间距离与截线段长构成直角三角形是解析几何经典模型。

结论推广：$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

方法推广：多选序号型填空：先求出所有可能值，再逐个对照选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-04 填-直线的方向向量与倾斜角
• 2013-江苏卷-13 填-坐标系中的距离公式