2009-大纲卷I理-08 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质、余弦函数的中心对称性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 如果函数 $y=3\cos (2x+\phi )$ 的图象关于点 $\left(\frac{4\pi }{3},0\right)$ 中心对称，那么 $|\phi |$ 的最小值为 ()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

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1. 依据余弦函数 $y=\cos u$ 的对称中心为 $\left(k\pi +\frac{\pi }{2},0\right)(k\in \mathbb{Z})$，可以得到整体变量 $2x+\phi$ 在对称点处的取值特征。
2. 将 $x=\frac{4\pi }{3}$ 代入整体变量，令其等于 $k\pi +\frac{\pi }{2}$，从而解出关于 $\phi$ 的表达式。
3. 赋予 $k$ 不同的整数值，找出令 $|\phi |$ 达到最小的那个值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $y=3\cos (2x+\phi )$ 的图象关于点 $\left(\frac{4\pi }{3},0\right)$ 中心对称， 根据余弦函数的零点即为其对称中心可知： $2\times \frac{4\pi }{3}+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ 化简变形得： $\frac{8\pi }{3}+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$ $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{8\pi }{3}=k\pi -\frac{13\pi }{6}(k\in \mathbb{Z})$ 为了让 $|\phi |$ 取得最小值，令 $k=2$，可得： $\phi =2\pi -\frac{13\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$ 此时 $|\phi |=\frac{\pi }{6}$。 若令 $k=3$，则 $\phi =3\pi -\frac{13\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$，$|\phi |=\frac{5\pi }{6}>\frac{\pi }{6}$。 综上所述，$|\phi |$ 的最小值为 $\frac{\pi }{6}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦函数的图象性质、对称中心的代数特征。
2. 核心方法：整体代换思想，将 $2x+\phi$ 看作一个整体，利用基础函数的对称性列出含有整数 $k$ 的通项方程。
3. 避坑指南：注意正弦函数和余弦函数的中心对称点形式的区别，正弦函数的中心对称点满足整体等于 $k\pi$，而余弦函数满足整体等于 $k\pi +\frac{\pi }{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由课本中“正弦函数、余弦函数的图象与性质”延伸出的经典参数逆向求解问题。
2. 结论推广：函数 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的图象关于点 $(x_0,0)$ 中心对称的充要条件为 $\omega x_0+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数