2009-大纲卷I理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、二项式展开式的通项公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） $(x-y{)}^{10}$ 的展开式中，$x^7{y}^3$ 的系数与 $x^3{y}^7$ 的系数之和等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出二项式 $(x-y{)}^{10}$ 展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 分别令 $r=3$ 和 $r=7$，求出 $x^7{y}^3$ 项与 $x^3{y}^7$ 项的系数。
3. 将两系数相加求和。

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$-240$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 $(x-y{)}^{10}$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_{10}^r{x}^{10-r}(-y{)}^r=(-1{)}^r{\text{C}}_{10}^r{x}^{10-r}{y}^r$ 令 $r=3$，得 $x^7{y}^3$ 的系数为： $(-1{)}^3{\text{C}}_{10}^3=-\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=-120$ 令 $r=7$，得 $x^3{y}^7$ 的系数为： $(-1{)}^7{\text{C}}_{10}^7=-{\text{C}}_{10}^3=-120$ 所以两系数之和为： $-120+(-120)=-240$ 答案：$-240$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：利用通项公式锁定特定项的次数，从而提取系数。
3. 避坑指南：注意二项式中的负号，$-y$ 的奇数次幂会产生负号，切勿漏掉 $(-1{)}^r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为二项式定理的常规基础题，源自课本中对二项式系数与项的系数概念辨析的习题。
2. 结论推广：在 $(x-y{)}^{2n}$ 的展开式中，$x^{2n-k}{y}^k$ 的系数与 $x^k{y}^{2n-k}$ 的系数，当 $k$ 为奇数时互为相等且均为负数，其余数之和为 $-2{\text{C}}_{2n}^k$。

🔗【关联脉络】

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