2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差

本题导读

本题考查二项式定理，以及指定项的系数。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） $(1-x{)}^{10}$ 的二项展开式中，$x$ 的系数与 $x^9$ 的系数之差为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k(-x{)}^k$
2. 步骤2：分别取 $k=1$、$k=9$ 作差

✅【答案】

点击查看答案

$0$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{10}^k\cdot (-x{)}^k={\mathrm{C}}_{10}^k(-1{)}^k{x}^k$。

$x$ 的系数（$k=1$）：${\mathrm{C}}_{10}^1\cdot (-1)=-10$；$x^9$ 的系数（$k=9$）：${\mathrm{C}}_{10}^9\cdot (-1{)}^9=-10$。

两者之差 $=-10-(-10)=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式的通项公式；符号项 $(-1{)}^k$ 的处理

核心方法：写通项、定 $k$ 值、算系数：系数差直接代入两个 $k$ 值相减

避坑指南：$(1-x{)}^{10}$ 的奇数次项系数为负：若漏掉 $(-1{)}^k$ 会得 $10-10=0$ 碰巧对，但若是求”系数之和”就会出错；$k$ 与项数 $k+1$ 的对应别错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数小题与 2013-大纲卷文-05（二项式定理）、2014-大纲卷文-13（二项式定理系数）同族。

结论推广：推广：$(1-x{)}^n$ 中 $x^k$ 与 $x^{n-k}$ 的系数关系为 ${\mathrm{C}}_n^k(-1{)}^k$ 与 ${\mathrm{C}}_n^{n-k}(-1{)}^{n-k}$；$n$ 为偶数时首尾（$k$ 与 $n-k$ 奇偶性相同时）系数可相等。

方法推广：二项式系数题：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，先分离符号再定 $k$；正负交替时注意差与和的区别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-05 单-二项式定理
• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数