2009-大纲卷I理-16 填-不等式

本题导读

本题考查二倍角公式、利用基本不等式求最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 若 $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$, 则函数 $y=\tan 2x{\tan }^{3}x$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用二倍角公式将 $\tan 2x$ 展开为关于 $\tan x$ 的表达式。
2. 设 $t={\tan }^{2}x$，通过自变量 $x$ 的范围确定换元后 $t$ 的取值范围。
3. 将函数转化为关于 $t$ 的代数式，变形后利用基本不等式（均值不等式）求出其最大值。

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$-8$

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式 $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$，代入原函数得： $y=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}\cdot {\tan }^{3}x=\frac{2{\tan }^{4}x}{1-{\tan }^{2}x}$ 令 $t={\tan }^{2}x$，因为 $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$，所以 $\tan x>1$，从而 $t>1$。 此时函数式变为： $y=\frac{2t^2}{1-t}(t>1)$ 由于 $t>1⟹1-t<0$，原式可变形为： $y=-\frac{2t^2}{t-1}=-2\cdot \frac{(t-1+1{)}^2}{t-1}=-2\cdot \frac{(t-1{)}^2+2(t-1)+1}{t-1}$ $y=-2\left[(t-1)+\frac{1}{t-1}+2\right]$ 因为 $t>1$，所以 $t-1>0$，由基本不等式得： $(t-1)+\frac{1}{t-1}\ge 2\sqrt{(t-1)\cdot \frac{1}{t-1}}=2$ 当且仅当 $t-1=\frac{1}{t-1}⟹(t-1{)}^2=1⟹t-1=1⟹t=2$ 时等号成立（此时 $\tan x=\sqrt{2}$ 符合题意）。 因此： $y\le -2\times (2+2)=-8$ 故函数 $y=\tan 2x{\tan }^{3}x$ 的最大值为 $-8$。 答案：$-8$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正切二倍角公式、利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 求代数式最值。
2. 核心方法：换元法（代数单调转化法），通过对关键结构 ${\tan }^{2}x$ 整体换元，将三角最值问题平滑降维为代数分式最值问题。
3. 避坑指南：由于 $x\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 时 $\tan 2x<0$，因此最终最大值是个负数。在运用基本不等式时，必须确保项 $t-1$ 为正数，故需要先提取负号进行调整。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于对三角函数与代数不等式交汇处的深度挖掘，是高考填空压轴题中极具区分度的经典设问。
2. 结论推广：对于函数 $y=\frac{m{t}^k}{1-t}$ 型最值，通过多项式长除法或者配方裂项，可以统一推广至利用高阶均值不等式或导数工具进行极值判定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式