2011-上海卷理-15 单-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式及其成立条件，以及均值不等式的正负号限定。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 若 $a,b\in \mathbf{R}$，且 $ab>0$，则下列不等式中，恒成立的是 ()

A. $a^2+b^2>2ab$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $a+b⩾2\sqrt{ab}$

C. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{2}{\sqrt{ab}}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}⩾2$

🔍【思路分析】

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1. 条件 $ab>0$ 说明 $a,b$ 同号，即同为正数或同为负数。
2. 检验各选项：

• 对 A：当 $a=b$ 时，$a^2+b^2=2ab$，不满足严格大于号，排除 A；
• 对 B 与 C：若 $a<0,b<0$，左边为负数，右边为正数，不等式显然不成立，排除 B、C；
• 对 D：因为 $ab>0$，所以 $\frac{b}{a}>0$ 且 $\frac{a}{b}>0$，直接符合基本不等式 $x+\frac{1}{x}⩾2(x>0)$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

已知 $a,b\in \mathbf{R}$ 且 $ab>0$，说明 $a,b$ 同正或同负。

• 对于 A 选项：当 $a=b=1$ 时，$a^2+b^2=2$，$2ab=2$，此时 $a^2+b^2=2ab$，故“$>$”不恒成立，A 错误；
• 对于 B 选项：若 $a=-1,b=-1$，则 $a+b=-2$，而 $2\sqrt{ab}=2\sqrt{1}=2$，$-2⩾2$ 不成立，B 错误；
• 对于 C 选项：若 $a=-1,b=-1$，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-2$，而 $\frac{2}{\sqrt{ab}}=2$，$-2>2$ 不成立，C 错误；
• 对于 D 选项：因为 $ab>0$，所以 $\frac{b}{a}>0$ 且 $\frac{a}{b}>0$。 由基本不等式，对任意正实数 $x=\frac{b}{a}>0$，均有： $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}⩾2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}=2$ 当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$，即 $a^2=b^2⟺a=b$（因 $a,b$ 同号）时等号成立。 因此，不等式 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}⩾2$ 恒成立，D 正确。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：基本不等式 $x+y⩾2\sqrt{xy}$ 的适用条件（各项必须严格为正数）。
• 核心方法：
• 特值排除法：取反例 $a=b=-1$ 迅速排除 B、C，取 $a=b=1$ 排除 A；
• 整体换元法：将 $\frac{b}{a}$ 视为一个整体正变量 $t>0$，转化为 $t+\frac{1}{t}⩾2$。
• 避坑指南：审题注意 $ab>0$ 并不代表 $a>0,b>0$，负数反例是破解此类选择题的关键突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高中数学必修五不等式章节中对基本不等式前提条件“正、定、等”的辨析题。
• 结论推广：对任意非零实数 $a,b$，恒有 $\left|\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right|⩾2$；当且仅当 $ab>0$ 时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}⩾2$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式