2009-大纲卷I理-19 解-分布列

本题导读

本题考查相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的分布列与数学期望。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束. 假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局.

(1) 求甲获得这次比赛胜利的概率；

(2) 设 $\xi$ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 $\xi$ 的分布列及数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：前2局甲、乙各胜1局，甲要获得最终胜利，还需再胜2局。后续比赛可能再打2局或3局。将甲在第4局或第5局达到3胜的情况进行分类相加。
2. 第二问：分析 $\xi$ 的所有可能取值。由于任何一方再胜2局即可结束比赛，$\xi$ 的可能取值为 2 或 3。计算对应的概率，列出分布列并计算期望。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由题意，前2局甲、乙各胜1局，故甲、乙各需再胜2局即可获得整场比赛的胜利。 记“甲获得这次比赛胜利”为事件 $A$。结合后续比赛的进程，事件 $A$ 可分为以下两种互斥情况： 情况一：甲连续赢得第3局和第4局，比赛结束。其概率为： $P_1=0.6\times 0.6=0.36$ 情况二：第3、4局中甲、乙各胜1局，而甲赢得了第5局，比赛结束。其概率为： $P_2={\text{C}}_2^1\times 0.6\times 0.4\times 0.6=2\times 0.24\times 0.6=0.288$ 所以，甲获得这次比赛胜利的概率为： $P(A)=P_1+P_2=0.36+0.288=0.648$

(2) 解： 由题意可知，从第3局开始，比赛最多再进行3局（即打满5局），最少再进行2局（即某一方连胜2局）。 因此，$\xi$ 的所有可能取值为 2，3。

当 $\xi =2$ 时，表示第3、4局被同一人连胜，比赛在第4局结束。其概率为： $P(\xi =2)=0.6^2+0.4^2=0.36+0.16=0.52$

当 $\xi =3$ 时，表示前4局结束后甲、乙各胜2局，比赛必须进行到第5局。即第3、4局中甲、乙各胜1局。其概率为： $P(\xi =3)={\text{C}}_2^1\times 0.6\times 0.4=2\times 0.24=0.48$

所以，$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	2	3
$P$	0.52	0.48

$\xi$ 的数学期望为： $E(\xi )=2\times 0.52+3\times 0.48=1.04+1.44=2.48$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验（伯努利试验）变形应用、离散型随机变量的期望计算。
2. 核心方法：理清“比赛在某一局结束”的临界条件——最后一局必为最终获胜方胜出，前面的局数满足二项分布。
3. 避坑指南：求 $P_2$ 时常有考生误写成 ${\text{C}}_3^2\times 0.6^2\times 0.4$，混淆了“第5局结束且甲胜”与“后3局中甲胜2局”的区别。必须锁死最后一局的胜者。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自经典“三局两胜制”或“五局三胜制”的体育比赛概率模型，属于高考概率解答题的第一道常规题型。
2. 结论推广：在“$2n-1$ 局 $n$ 胜制”中，若双方已各胜 $k$ 局（$k<n$），则后续还需进行的局数 $\xi$ 的取值范围为 $[n-k,2(n-k)-1]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率