2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率

本题导读

本题考查古典概型，以及对立事件。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 随机抽取的 $9$ 位同学中，至少有 $2$ 位同学在同一月份出生的概率为$\underline{}$（默认每个月的天数相同，结果精确到 $0.001$）.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$P=1-P(\text{生日两两不同})=1-\frac{12\times 11\times \cdots \times 4}{12^9}$

✅【答案】

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$0.985$

✍【详细解析】

Abstract

“至少有 $2$ 人在同一月出生”的对立事件是”$9$ 人生日月份两两不同”。

$P(\text{两两不同})=\frac{12\times 11\times 10\times \cdots \times 4}{12^9}\approx 0.015$。

故所求概率 $P=1-0.015=0.985$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对立事件转化；分步乘法计数与古典概型

核心方法：“至少”型先取对立面（全不同），正面计算更繁时反着算

避坑指南：“至少 $2$ 人”包含恰 $2$ 人、恰 $3$ 人……直接正面分类很繁；分母是 $12^9$（每人独立 $12$ 种），不是 $12^8$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：生日问题与对立事件概率与 2012-上海卷文-11、2011-新课标卷文-06、2012-山东卷文-18 同族。

结论推广：推广：$n$ 人 $12$ 月份生日全不同的概率为 $\frac{12!}{(12-n)!12^n}$；$n=23$ 时”至少两人同月”概率已超 $\frac{1}{2}$。

方法推广：“至少”概率题：优先对立事件；用分步乘法写全不同的概率，最后 $1$ 减。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-11 填-古典概型
• 2011-新课标卷文-06 单-古典概型
• 2012-山东卷文-18 解-古典概型分类计数