2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率

本题导读

本题考查茎叶图，以及平均数与方差。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $X$ 表示．

(1) 如果 $X=8$，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

(2) 如果 $X=9$，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 $19$ 的概率．

（注：方差 $s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2\right]$，其中 $\bar{x}$ 为 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的平均数）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 乙组 $8,8,9,10$ 直接算均数方差
2. 步骤2：(2) 甲 $9,9,11,11$、乙 $8,9,9,10$ 枚举 $16$ 组合数和为 $19$ 的对数

✅【答案】

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(1) 平均数为 $\frac{35}{4}$，方差为 $\frac{11}{16}$

(2) 概率为 $\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $X=8$ 时乙组数据为 $8,8,9,10$。

平均数 $\bar{x}=\frac{8+8+9+10}{4}=\frac{35}{4}$。

方差 $s^2=\frac{1}{4}\left[{\left(8-\frac{35}{4}\right)}^2\times 2+{\left(9-\frac{35}{4}\right)}^2+{\left(10-\frac{35}{4}\right)}^2\right]=\frac{1}{4}\left[\frac{9}{16}\times 2+\frac{1}{16}+\frac{25}{16}\right]=\frac{11}{16}$。

(2) $X=9$ 时乙组数据为 $8,9,9,10$；甲组数据为 $9,9,11,11$。

从甲、乙各随机选一名，共 $4\times 4=16$ 种等可能结果。

总棵数为 $19$ 的情形：甲 $9$ 配乙 $10$（$2\times 1=2$ 种），甲 $11$ 配乙 $8$（$2\times 1=2$ 种），共 $4$ 种。

故所求概率 $P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：茎叶图的读数；平均数与方差公式；古典概型枚举

核心方法：从茎叶图还原数据后逐项代公式；概率题按”甲配乙”列表枚举

避坑指南：方差公式的分母是 $n=4$（总体方差），不是 $n-1$；甲组有两个 $9$、两个 $11$，配对时要计重复个数（$2$ 种而非 $1$ 种）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：茎叶图解答题与 2012-湖南卷文-13（茎叶图方差）、2013-山东卷文-10（茎叶图方差）、2012-北京卷文-17（统计表与方差最值）同族。

结论推广：推广：若 $X$ 未知，可用”乙组均值随 $X$ 递增”讨论单调性；古典概型中重复数据要用乘法计数原理逐个计入。

方法推广：统计解答题：先把茎叶图读成数据列，(1) 直接代公式；(2) 明确样本空间（$4\times 4$）与有利事件数，用列举法防漏。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-13 填-茎叶图方差
• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 2012-北京卷文-17 解-统计表与方差最值