2009-大纲卷I理-22 解-导数

本题导读

本题考查导数在函数极值中的应用、一元二次方程根的分布。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 设函数 $f(x)=x^3+3b{x}^2+3cx$ 有两个极值点 $x_1、x_2$，且 $x_1\in [-1,0]$，$x_2\in [1,2]$.

(1) 求 $b、c$ 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 $(b,c)$ 的区域；

(2) 证明：$-10\le f(x_2)\le -\frac{1}{2}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：对函数 $f(x)$ 求导，极值点对应导函数 $f^{\prime }(x)=0$ 的两个不同实根。利用二次方程根的分布特征，列出区间端点值的不等式组，即可求得约束条件并确定平面区域。
2. 第二问：利用韦达定理将参数 $b,c$ 用根 $x_1,x_2$ 表达，代入 $f(x_2)$ 的代数式中进行消元化简，得到 $f(x_2)=\frac{1}{2}{x}_2^2(3x_1-x_2)$。由于 $x_1,x_2$ 在各自区间内独立变化，直接利用不等式的乘法性质进行范围放缩即可。

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$-10\le f(x_2)\le -\frac{1}{2}$ 得证

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由题意，对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2+6bx+3c=3(x^2+2bx+c)$ 设 $g(x)=x^2+2bx+c$。因为 $f(x)$ 有两个极值点，所以 $x_1,x_2$ 是方程 $g(x)=0$ 的两个互异实根。 又 $x_1\in [-1,0]$，$x_2\in [1,2]$，根据二次函数图象的特征，方程在对应区间各有一个实根的充要条件为： $\{\begin{array}{l}g(-1)\ge 0\\ g(0)\le 0\\ g(1)\le 0\\ g(2)\ge 0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}1-2b+c\ge 0\\ c\le 0\\ 1+2b+c\le 0\\ 4+4b+c\ge 0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}c\ge 2b-1\\ c\le 0\\ c\le -2b-1\\ c\ge -4b-4\end{array}$ 这就是 $b,c$ 满足的约束条件。

该约束条件在坐标系中表示为一个封闭的四边形区域，其四个顶点坐标分别为： $A(-1,0),B\left(-\frac{1}{2},0\right),C(0,-1),D\left(-\frac{1}{2},-2\right)$ 满足条件的点 $(b,c)$ 的区域即为以这四个点为顶点的多边形内部及边界。

(2) 证明： 由韦达定理可知，方程 $g(x)=x^2+2bx+c=0$ 的两根 $x_1,x_2$ 满足： $x_1+x_2=-2b⟹b=-\frac{x_1+x_2}{2}$ $x_1{x}_2=c$ 将 $b,c$ 的关系式代入 $f(x_2)$ 的表达式中： $f(x_2)=x_2^3+3\left(-\frac{x_1+x_2}{2}\right)x_2^2+3(x_1{x}_2)x_2$ $=x_2^3-\frac{3}{2}{x}_1{x}_2^2-\frac{3}{2}{x}_2^3+3x_1{x}_2^2$ $=-\frac{1}{2}{x}_2^3+\frac{3}{2}{x}_1{x}_2^2=\frac{1}{2}{x}_2^2(3x_1-x_2)$

因为 $x_1\in [-1,0]$，所以 $-3\le 3x_1\le 0$； 因为 $x_2\in [1,2]$，所以 $-2\le -x_2\le -1$。 将上述两式相加得： $-5\le 3x_1-x_2\le -1$ 由于 $3x_1-x_2<0$，且 $x_2\in [1,2]⟹x_2^2\in [1,4]$：

• 当 $x_2^2$ 取最大值 $4$ 且 $3x_1-x_2$ 取最小值 $-5$ 时，乘积取得最小值： $f(x_2)\ge \frac{1}{2}\times 4\times (-5)=-10$
• 当 $x_2^2$ 取最小值 $1$ 且 $3x_1-x_2$ 取最大值 $-1$ 时，乘积取得最大值： $f(x_2)\le \frac{1}{2}\times 1\times (-1)=-\frac{1}{2}$

综上所述，$-10\le f(x_2)\le -\frac{1}{2}$ 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与极值点的转化、一元二次方程根的分布、线性规划区域、多元变量的最值消元与放缩。
2. 核心方法：根变量整体代换法。本题若直接从参数 $b,c$ 的代数边界去推导 $f(x_2)$ 的范围，会因为 $x_2$ 也是变数而陷入极其复杂的多元不等式讨论。将其彻底转化为两个完全独立的区间变量 $x_1,x_2$，利用独立性直接放缩是全题最简捷的破局点。
3. 避坑指南：第一问中列出不等式组时，注意闭区间边界点的等号不可遗漏；第二问放缩时，由于 $3x_1-x_2$ 恒为负数，因而在乘以正数 $x_2^2$ 时，最大值对应较小的正数，最小值对应较大的正数，方向不可颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将经典的三次函数极值点性质与高一阶段的二次方程根的分布、线性规划完美结合，是传统大纲卷压轴题中注重数形结合与代数变形的优秀代表。
2. 结论推广：若函数 $f(x)=x^3+3b{x}^2+3cx$ 的两极值点满足 $x_1\in [m,n]$, $x_2\in [p,q]$ ($n<p$)，则极值处的通项代数式均可化简为 $f(x_2)=\frac{1}{2}{x}_2^2(3x_1-x_2)$，其取值范围可通过两变量在矩形域 $[m,n]\times [p,q]$ 上的边界放缩统一确定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式