2011-大纲卷理-22 解-导数不等式

本题导读

本题考查利用导数证明函数不等式。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 22. (1) 设函数 $f(x)=\ln (1+x)-\frac{2x}{x+2}$，证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0$；

(2) 从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 $p$. 证明： $p<{\left(\frac{9}{10}\right)}^{19}<\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}.$

🔍【思路分析】

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1. 第一问：对 $f(x)$ 求导，利用通分整理 $f^{\prime }(x)$ 的分子，易知当 $x>0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，故 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上严格单调递增，由 $f(0)=0$ 即可完成证明。
2. 第二问：

• 先写出有放回抽取 20 次号码全不相同的概率表达式： $p=\frac{{\mathrm{A}}_{100}^{20}}{100^{20}}={\prod }_{k=1}^{19}\left(1-\frac{k}{100}\right).$
• 证明第一段不等式 $p<{\left(\frac{9}{10}\right)}^{19}$：将 19 个乘积项应用算术-几何平均值不等式（AM-GM）或对称首尾配对放缩，由首尾对称性知其算术平均值恰为 $\frac{9}{10}$，严格不等成立。
• 证明第二段不等式 ${\left(\frac{9}{10}\right)}^{19}<\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}$：两边取自然对数，转化为证明 $19\ln \left(1-\frac{1}{10}\right)<-2$，应用第 (1) 问得出的经典对数不等式变形即可精准定界。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 由题设，$f(x)=\ln (1+x)-\frac{2x}{x+2}$（$x>0$）。 求导得：

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{2(x+2)-2x}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{1+x}-\frac{4}{(x+2{)}^2}.$$

通分化简：

$$f^{\prime }(x)=\frac{(x+2{)}^2-4(1+x)}{(1+x)(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+4-4-4x}{(1+x)(x+2{)}^2}=\frac{x^2}{(1+x)(x+2{)}^2}.$$

当 $x>0$ 时，$x^2>0$ 且 $(1+x)(x+2{)}^2>0$， 所以 $f^{\prime }(x)>0$ 恒成立。 因此，函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上为严格单调递增函数。 又 $f(0)=\ln 1-0=0$， 故当 $x>0$ 时，恒有 $f(x)>f(0)=0$。 即证：当 $x>0$ 时，$f(x)>0$。

(2) 证明： 每次从 100 张卡片中抽取 1 张后放回，连续抽取 20 次，所有可能的基本事件总数为 $100^{20}$。 抽得的 20 个号码互不相同的抽取方法数为 ${\mathrm{A}}_{100}^{20}=100\times 99\times 98\times \cdots \times 81$。 所以该事件的概率为：

$$p=\frac{{\mathrm{A}}_{100}^{20}}{100^{20}}=\frac{100}{100}\times \frac{99}{100}\times \frac{98}{100}\times \cdots \times \frac{81}{100}=\prod _{k=1}^{19}\left(1-\frac{k}{100}\right).$$

① 先证前半部分：$p<{\left(\frac{9}{10}\right)}^{19}$ 记正数 $x_k=1-\frac{k}{100}$（$k=1,2,\dots ,19$）。 这 19 个数互不相等，由算术-几何平均值不等式（AM-GM 不等式）：

$$\sqrt[19]{\prod _{k=1}^{19}{x}_k}<\frac{1}{19}\sum _{k=1}^{19}{x}_k.$$

由于

$$\sum _{k=1}^{19}{x}_k=\sum _{k=1}^{19}\left(1-\frac{k}{100}\right)=19-\frac{1}{100}\sum _{k=1}^{19}k=19-\frac{1}{100}\times \frac{19\times 20}{2}=19-\frac{190}{100}=19-1.9=\mathrm{17.1.}$$

所以其算术平均值为：

$$\frac{1}{19}\sum _{k=1}^{19}{x}_k=\frac{17.1}{19}=0.9=\frac{9}{10}.$$

因此：

$$\sqrt[19]{p}<\frac{9}{10}⟹p<{\left(\frac{9}{10}\right)}^{19}.$$

② 再证后半部分：${\left(\frac{9}{10}\right)}^{19}<\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}$ 两边取自然对数，该不等式等价于证明：

$$19\ln \left(\frac{9}{10}\right)<-2⟺19\ln \left(\frac{10}{9}\right)>2.$$

在 (1) 的结论中，令 $x=\frac{1}{9}>0$，则有：

$$\ln \left(1+\frac{1}{9}\right)>\frac{2\times \frac{1}{9}}{\frac{1}{9}+2}=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{19}{9}}=\frac{2}{19}.$$

即：

$$\ln \left(\frac{10}{9}\right)>\frac{2}{19}.$$

两边同乘 19 得：

$$19\ln \left(\frac{10}{9}\right)>2.$$

两边取负号：

$$19\ln \left(\frac{9}{10}\right)<-2.$$

再以 $\mathrm{e}$ 为底取指数，由于指数函数严格递增，得：

$${\left(\frac{9}{10}\right)}^{19}<{\mathrm{e}}^{-2}=\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}.$$

综合 ①、②，原不等式获证：

$$p<{\left(\frac{9}{10}\right)}^{19}<\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}.$$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：
• 导函数化简判定严格单调性；
• 均值不等式 $\prod a_i<{\left(\frac{\sum a_i}{n}\right)}^n$ 处理连乘积；
• 构造自变量值将对数函数不等式与数值不等式接轨。
• 核心方法：两步拆分法——几何平均放缩控制离散乘积，对数切线/帕德逼近放缩控制代数指数项。
• 避坑指南：
• 证明 $p<{\left(\frac{9}{10}\right)}^{19}$ 时，项数共有 19 项而非 20 项（第一项 $\frac{100}{100}=1$ 必须剥离，否则均值计算会失真）；
• 在将对数式与 (1) 问接轨时，应明确将 $\ln \frac{10}{9}$ 写成 $\ln \left(1+\frac{1}{9}\right)$，选取 $x=\frac{1}{9}$ 恰好消去分母的 19。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：
• 高等数学中的 Padé 逼近：$\frac{2x}{x+2}$ 是 $\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $[1/1]$ 阶帕德逼近，具有比一阶泰勒展开 $x-\frac{x^2}{2}$ 更高的逼近精度；
• 概率论中的经典生日悖论（Birthday Problem）与泊松近似极限：当试验次数 $k\ll N$ 时，$p={\prod }_{j=1}^{k-1}(1-j/N)\approx {\mathrm{e}}^{-k(k-1)/(2N)}$，代入 $k=20,N=100$ 时理论指数为 $-\frac{190}{100}=-1.9$，且严格小于 ${\mathrm{e}}^{-1.9}$。
• 结论推广：对 $n$ 元生日问题，有界估计恒满足 ${\prod }_{k=1}^{m-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)<{\left(1-\frac{m-1}{2n}\right)}^{m-1}<{\mathrm{e}}^{-\frac{m(m-1)}{2n}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2007-广东卷理-09 填-古典概型
• 2013-陕西卷文-21 解-分层抽样与概率
• 2013-陕西卷理-19 解-古典概型