2009-大纲卷II理-08 单-三角函数

本题导读

本题主要考查三角函数（正切函数）的图象平移变换以及图象重合的条件，核心在于通过平移后的解析式与目标解析式对应角相差周期整数倍来建立方程。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 若将函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$ ($\omega >0$) 的图像向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度后, 与函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图像重合, 则 $\omega$ 的最小值为 ()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$ 向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位后的新解析式。

2. 根据正切函数的周期性，平移后的相位与已知函数的相位应满足相差 $k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) 的关系。

3. 列出关于 $\omega$ 的方程，结合 $\omega >0$ 求出其最小值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

将函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的图像向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，解析式变为： $y=\tan \left[\omega \left(x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{4}\right]=\tan \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\omega +\frac{\pi }{4}\right)$. 因为该图象与 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图像重合，且正切函数的周期为 $\pi$， 所以有：$\omega x-\frac{\pi }{6}\omega +\frac{\pi }{4}=\omega x+\frac{\pi }{6}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$). 化简得：$-\frac{\pi }{6}\omega +\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, $-\frac{\pi }{6}\omega =-\frac{\pi }{12}+k\pi$, 解得：$\omega =\frac{1}{2}-6k$ ($k\in \mathbb{Z}$). 因为 $\omega >0$，要使 $\omega$ 取最小值，只需令 $k=0$，此时 $\omega$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$. 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的平移法则（左加右减，且针对自变量 $x$ 整体平移）与正切函数的周期性。

2. 核心方法：相位法，平移后利用周期性建立等式关系 ${\theta }_1={\theta }_2+k\pi$。

3. 避坑指南：平移变换极易错写为 $\tan \left(\omega x-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)$，必须是对自变量 $x$ 替换为 $\left(x-\frac{\pi }{6}\right)$；另外要牢记正切函数的周期是 $\pi$ 而不是 $2\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中三角函数的图象变换习题，通过考查参数 $\omega$ 的取值将题目的思维层次从常规的画图平移提升到代数方程的求解。

2. 结论推广：函数 $y=\tan (\omega x+{\varphi }_1)$ 向右平移 $\Delta x$ 个单位后与 $y=\tan (\omega x+{\varphi }_2)$ 重合，则 $\omega \cdot \Delta x={\varphi }_1-{\varphi }_2+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数