2009-大纲卷II理-13 填-二项式定理

本题导读

本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用，核心在于通过通项公式中自变量的指数确定特定项的序号，进而求出系数。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） $(x\sqrt{y}-y\sqrt{x}{)}^4$ 的展开式中 $x^3{y}^3$ 的系数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。

2. 将通项公式进行化简，合并同底数幂，使 $x,y$ 的指数式清晰。

3. 令 $x$ 的指数等于 3，解出 $r$ 的值，代入系数部分计算。

✅【答案】

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$-240$

✍【详细解析】

Abstract

二项式展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_4^r(x\sqrt{y}{)}^{4-r}(-y\sqrt{x}{)}^r={\text{C}}_4^r(-1{)}^r{x}^{4-r}{y}^{\frac{4-r}{2}}{y}^r{x}^{\frac{r}{2}}={\text{C}}_4^r(-1{)}^r{x}^{4-\frac{r}{2}}{y}^{2+\frac{r}{2}}$. 令 $x$ 的指数 $4-\frac{r}{2}=3$，解得 $r=2$。 此时代入 $y$ 的指数验证：$2+\frac{2}{2}=3$，符合题意。 因此，$x^3{y}^3$ 的系数为 ${\text{C}}_4^2(-1{)}^2=6\times 1=6$。

填：6

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

2. 核心方法：指数方程法，通过未知项的指数构建方程求 $r$。

3. 避坑指南：注意项前面的负号不可遗漏，$(-1{)}^r$ 的奇偶性直接决定最终系数的正负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材二项式定理章节的课后习题，属于考查通项公式基本运用的常规填空题。

2. 结论推广：对于 ${\left(x^a{y}^b+c{x}^d{y}^e\right)}^n$ 形式的二项式求指定项系数，均可通过联立关于 $r$ 的线性方程组求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理