2009-大纲卷II理-18 解-二面角

本题导读

本题主要考查直三棱柱的几何性质、线面垂直的性质、以及二面角和线面角的计算。核心是通过建立空间直角坐标系，将空间位置关系与角度计算转化为向量运算。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 如图, 直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中, $AB\perp AC$, $D$、 $E$ 分别为 $A{A}_1$、 $B_{1}C$ 的中点, $DE\perp$ 平面 $BC{C}_1$.

(1) 证明: $AB=AC$;

(2) 设二面角 $A-BD-C$ 为 60°, 求 $B_{1}C$ 与平面 $BCD$ 所成的角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：利用直三棱柱中 $AB\perp AC$ 且侧棱垂直于底面的特点，以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系。利用 $DE\perp$ 平面 $BC{C}_1$ 导出 $DE\perp BC$，通过向量数量积为 0 证明 $AB=AC$。

2. 第二步：求出平面 $ABD$ 与平面 $BCD$ 的法向量，利用二面角为 60° 确定棱长与侧棱高的比例关系。

3. 第三步：利用平面 $BCD$ 的法向量与直线 $B_{1}C$ 的方向向量，结合线面角公式求出夹角的正弦值，从而得到角的大小。

✅【答案】

点击查看答案

𝐴𝐵=𝐴𝐶；𝐵1𝐶与平面𝐵𝐶𝐷所成的角为30∘.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 是直三棱柱，所以 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$。 又 $AB\perp AC$，故以 $A$ 为原点， $AB,AC,A{A}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 设 $AB=b,AC=c,A{A}_1=2h$ ($b,c,h>0$)。 则各点坐标为：$A(0,0,0),B(b,0,0),C(0,c,0),A_1(0,0,2h),B_1(b,0,2h)$。 由于 $D$ 是 $A{A}_1$ 的中点， $E$ 是 $B_{1}C$ 的中点， 则 $D(0,0,h)$, $E\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},h\right)$。 可得向量 $\overrightarrow{DE}=\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},0\right)$。 因为 $DE\perp$ 平面 $BC{C}_1$，且 $BC\subset$ 平面 $BC{C}_1$，所以 $DE\perp BC$，即 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{BC}=0$。 又 $\overrightarrow{BC}=(-b,c,0)$， 则 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{BC}=-\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}=0⟹b^2=c^2$。 因为 $b,c>0$，所以 $b=c$，即 $AB=AC$。

(2) 解： 由(1)知 $b=c$，故 $B(b,0,0),C(0,b,0),D(0,0,h)$。 平面 $ABD$ 即为 $xOz$ 平面，其一个法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(0,1,0)$。 设平面 $BCD$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$。 由 $\overrightarrow{BC}=(-b,b,0),\overrightarrow{BD}=(-b,0,h)$，得： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{BC}=-bx+by=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{BD}=-bx+zh=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}y=x\\ z=\frac{b}{h}x\end{array}$ 取 $x=1$，得 $\overrightarrow{n_2}=\left(1,1,\frac{b}{h}\right)$。 因为二面角 $A-BD-C$ 为 60°， 所以 $\cos 60°=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{1}{1\times \sqrt{1+1+\frac{b^2}{h^2}}}=\frac{1}{2}$， 解得 $\frac{b^2}{h^2}=2⟹b=\sqrt{2}h$。 此时，平面 $BCD$ 的法向量可化为 $\overrightarrow{n_2}=(1,1,\sqrt{2})$。 又 $B_1(\sqrt{2}h,0,2h),C(0,\sqrt{2}h,0)$， 得 $\overrightarrow{B_{1}C}=(-\sqrt{2}h,\sqrt{2}h,-2h)$。 设 $B_{1}C$ 与平面 $BCD$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{B_{1}C}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{B_{1}C}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|-\sqrt{2}h+\sqrt{2}h-2\sqrt{2}h|}{\sqrt{2h^2+2h^2+4h^2}\times \sqrt{1+1+2}}=\frac{2\sqrt{2}h}{2\sqrt{2}h\times 2}=\frac{1}{2}$。 因为 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以 $\theta =30°$。 即 $B_{1}C$ 与平面 $BCD$ 所成的角 folds 大小为 30°。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直棱柱的结构特征，线面垂直的向量表示，二面角与线面角的向量求法。

2. 核心方法：建系法。通过寻找两两垂直的直线建立空间直角坐标系，将几何证明化为代数运算。

3. 避坑指南：第(1)问中容易直接去推导线线垂直，忽略了利用向量积为0能最直接判定边长相等；第(2)问求线面角时，公式用的是 $\sin \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}$，切忌错记为余弦公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自传统立体几何中关于“正三棱柱截面性质”的经典探究题，由于具备特殊的垂直关系，极适合引入空间向量进行代数化破解。

2. 结论推广：在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，若 $AB\perp AC$ 且 $A{A}_1$ 中点与 $B_{1}C$ 中点的连线垂直于侧面 $BC{C}_1{B}_1$，则底面三角形必为等腰直角三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

𝐴𝐵=𝐴𝐶；𝐵1𝐶与平面𝐵𝐶𝐷所成的角为30∘.

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角