2009-大纲卷II理-20 解-古典概型

本题导读

本题主要考查概率与统计的基础知识。核心在于准确理解分层抽样的按比例分配原则，以及在多层独立抽样模型下进行分类讨论，正确求解离散型随机变量的分布列与数学期望。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 某车间甲组有 10 名工人, 其中有 4 名女工人; 乙组有 5名工人, 其中有 3 名女工人. 现采用分层抽样方法 (层内采用不放回简单随机抽样) 从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核.

(1) 求从甲、乙两组各抽取的人数；

(2) 求从甲组抽取的工人中恰有 1名女工人的概率；

(3) 记 $\xi$ 表示抽取的 3 名工人中男工人数, 求 $\xi$ 的分布列及数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根据分层抽样中各层抽取的比例等于总体抽取比例，计算出两组各自抽取的人数。

2. 第二问：在甲组抽取的工人中，利用组合数及古典概型公式计算恰有 1 名女工人的概率。

3. 第三问：明确 $\xi$ 的所有可能取值（0, 1, 2, 3），对甲、乙两组抽出的男工人数进行分类讨论，计算出各取值对应的概率，列出分布列并套用期望公式求解。

✅【答案】

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（1）由𝑏𝑛=𝑎𝑛𝑛，得𝑎𝑛=𝑛𝑏𝑛，𝑎𝑛+1=(𝑛+1)𝑏𝑛+1.将它们代入递推式，得(𝑛+1)𝑏𝑛+1=(1+1

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 车间总人数为 $10+5=15$ 人，共抽取 3 名工人，抽样比为 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。 所以甲组抽取的人数为 $10\times \frac{1}{5}=2$ 人； 乙组抽取的人数为 $5\times \frac{1}{5}=1$ 人。

(2) 解： 甲组 10 名工人中，有 4 名女工人，6 名男工人。从甲组抽取的 2 人中恰有 1 名女工人的概率为： $P=\frac{{\text{C}}_4^1\cdot {\text{C}}_6^1}{{\text{C}}_{10}^2}=\frac{4\times 6}{45}=\frac{8}{15}$。

(3) 解： 依题意，乙组 5 名工人中有 3 名女工人，2 名男工人。 抽取的 3 名工人中，男工总数 $\xi$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3。

• 当 $\xi =0$ 时，即甲组抽取的 2 人全为女工人，乙组抽取的 1 人为女工人： $P(\xi =0)=\frac{{\text{C}}_4^2}{{\text{C}}_{10}^2}\times \frac{{\text{C}}_3^1}{{\text{C}}_5^1}=\frac{6}{45}\times \frac{3}{5}=\frac{2}{25}$；
• 当 $\xi =1$ 时，即甲组抽 1 男 1 女且乙组抽 0 男 1 女，或甲组抽 0 男 2 女且乙组抽 1 男 0 女： $P(\xi =1)=\frac{{\text{C}}_6^1{\text{C}}_4^1}{{\text{C}}_{10}^2}\times \frac{{\text{C}}_3^1}{{\text{C}}_5^1}+\frac{{\text{C}}_4^2}{{\text{C}}_{10}^2}\times \frac{{\text{C}}_2^1}{{\text{C}}_5^1}=\frac{24}{45}\times \frac{3}{5}+\frac{6}{45}\times \frac{2}{5}=\frac{84}{225}=\frac{28}{75}$；
• 当 $\xi =2$ 时，即甲组抽 2 男 0 女且乙组抽 0 男 1 女，或甲组抽 1 男 1 女且乙组抽 1 男 0 女： $P(\xi =2)=\frac{{\text{C}}_6^2}{{\text{C}}_{10}^2}\times \frac{{\text{C}}_3^1}{{\text{C}}_5^1}+\frac{{\text{C}}_6^1{\text{C}}_4^1}{{\text{C}}_{10}^2}\times \frac{{\text{C}}_2^1}{{\text{C}}_5^1}=\frac{15}{45}\times \frac{3}{5}+\frac{24}{45}\times \frac{2}{5}=\frac{93}{225}=\frac{31}{75}$；
• 当 $\xi =3$ 时，即甲组抽 2 男 0 女，乙组抽 1 男 0 女： $P(\xi =3)=\frac{{\text{C}}_6^2}{{\text{C}}_{10}^2}\times \frac{{\text{C}}_2^1}{{\text{C}}_5^1}=\frac{15}{45}\times \frac{2}{5}=\frac{30}{225}=\frac{10}{75}=\frac{2}{15}$。

所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{2}{25}$	$\frac{28}{75}$	$\frac{31}{75}$	$\frac{2}{15}$

数学期望为： $E(\xi )=0\times \frac{6}{75}+1\times \frac{28}{75}+2\times \frac{31}{75}+3\times \frac{10}{75}=\frac{28+62+30}{75}=\frac{120}{75}=\frac{8}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分层抽样按比例分配样本数，互斥事件加法公式与独立事件乘法公式的综合应用。

2. 核心方法：分类讨论法，理清变量 $\xi$ 对应的每一种底层组合形式。

3. 避坑指南：在计算 $\xi =1$ 和 $\xi =2$ 的概率时，切记不要漏掉由于两组独立抽样导致的互斥组合（如甲组出男工或乙组出男工的两种情况），计算完后可将概率相加验证是否为 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中分层抽样和离散型随机变量分布列的经典综合案例，是高考概率统计解答题中考查基本功的稳健题型。

2. 结论推广：本题可利用数学期望的线性性质 $E(\xi )=E({\xi }_{甲})+E({\xi }_{乙})$ 进行快速秒杀或验算。甲组抽 2 人中男工人数期望 $E({\xi }_{甲})=2\times \frac{6}{10}=\frac{6}{5}$，乙组抽 1 人中男工人数期望 $E({\xi }_{乙})=1\times \frac{2}{5}=\frac{2}{5}$，则总期望 $E(\xi )=\frac{6}{5}+\frac{2}{5}=\frac{8}{5}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-12 填-期望