2009-天津卷文-20 解-等差数列交错和

本题导读

数列大题。(1) $S_3=3a_1+3d=15$ 得 $a_n=4n-3$；(2) $S_2^2=S_1{S}_3$ 化为 $q^2+2q=0$，$q=-2$；(3) 按 $q$ 的奇偶次幂分组，和为 $2dq\frac{1-q^{2n}}{1-q^2}$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d$ 不为 $0$，设 $S_n=a_1+a_{2}q+\cdots +a_n{q}^{n-1}$，$T_n=a_1-a_{2}q+\cdots +(-1{)}^{n-1}{a}_n{q}^{n-1}$，$q\ne 0$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1)若 $q=1$，$a_1=1$，$S_3=15$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)若 $a_1=d$，$S_1$，$S_2$，$S_3$ 成等比数列，求 $q$ 的值；

(3)若 $q\ne \pm 1$，证明 $(1-q)S_{2n}-(1+q)T_{2n}=\frac{2dq(1-q^{2n})}{1-q^2}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $q=1$ 时 $S_3=a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=15\Rightarrow d=4$，$a_n=4n-3$。
2. (2) $S_1=d$，$S_2=d(1+2q)$，$S_3=d(1+2q+3q^2)$；$S_2^2=S_1{S}_3$ 化为 $(1+2q{)}^2=1+2q+3q^2$，即 $q^2+2q=0$，$q\ne 0$，故 $q=-2$。
3. (3) $(1-q)S_{2n}$ 与 $(1+q)T_{2n}$ 展开后相减，只有偶数次幂项存活，凑成等比求和。

✅【答案】

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(1) $a_n=4n-3$；(2)$q=-2$；(3)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1） $q=1$ 时，$S_3=a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=15$，又 $a_1=1$，得 $d=4$，故 $a_n=1+4(n-1)=4n-3$。

（2） $a_1=d$ 时：$S_1=d$；$S_2=a_1+a_{2}q=d+2dq=d(1+2q)$；$S_3=d+2dq+3d{q}^2=d(1+2q+3q^2)$。 由 $S_1$，$S_2$，$S_3$ 成等比数列：$S_2^2=S_1{S}_3$，即 $(1+2q{)}^2=1+2q+3q^2⟹q^2+2q=0.$ $q\ne 0$，故 $q=-2$。

（3） 对 $k⩾2$，将 $(1-q)S_{2n}$ 与 $(1+q)T_{2n}$ 按同次幂配对： $(1-q)S_{2n}=a_1+{\sum }_{k=2}^{2n}(a_k-a_{k-1})q^{k-1}-a_{2n}{q}^{2n}=a_1+d{\sum }_{k=2}^{2n}{q}^{k-1}-a_{2n}{q}^{2n},$ $(1+q)T_{2n}=a_1+{\sum }_{k=2}^{2n}(-1{)}^{k-2}(a_{k-1}-a_k)q^{k-1}-a_{2n}{q}^{2n}=a_1-d{\sum }_{k=2}^{2n}(-1{)}^{k-2}{q}^{k-1}-a_{2n}{q}^{2n}.$ 两式相减： $(1-q)S_{2n}-(1+q)T_{2n}=d{\sum }_{k=2}^{2n}\left[1+(-1{)}^{k-2}\right]q^{k-1}.$ $k$ 为偶数时该项系数为 $2$，$k$ 为奇数时为 $0$，故 $=2d\left(q+q^3+\cdots +q^{2n-1}\right)=2dq\cdot \frac{1-q^{2n}}{1-q^2}.$ 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与交错和数列

核心方法：基本量方程 + 等比条件 + 错位分组

避坑指南：(3) 展开相减后只有偶数次幂存活，系数 $1+(-1{)}^{k-2}$ 起筛选作用；凑成首项 $q$、公比 $q^2$ 的等比求和，别把 $q^{2n}$ 的指数写错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$、$T_n$ 交错和是天津卷特色数列题。

结论推广：$(1-q)S_{2n}$ 与 $(1+q)T_{2n}$ 都有首项 $a_1$ 与尾项 $-a_{2n}{q}^{2n}$，相减时正好抵消。

方法推广：$q=\pm 1$ 是除外条件：$q=1$ 时（2）已解，$q=-1$ 时分母 $1-q^2=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-11 填-等差数列基本量
• 2011-浙江卷文-19 解-等差数列倒数成等比
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和