2011-浙江卷文-19 解-等差数列倒数成等比

本题导读

本题考查等差数列的通项，以及等比数列的定义。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1$ 为 $a$（$a\in \mathrm{R}$），且 $\frac{1}{a_1}$，$\frac{1}{a_2}$，$\frac{1}{a_4}$ 成等比数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 对 $n\in {\mathrm{N}}^{\ast }$，试比较 $\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_2^3}+\cdots +\frac{1}{a_{2^n}}$ 与 $\frac{1}{a_1}$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 倒数成等比化为 $a_1{a}_4=a_2^2$
2. 步骤2：解出 $d=a$
3. 步骤3：(2) 求出 $S_n=\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$ 后按 $a$ 的符号比较

✅【答案】

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(1) $a_n=na$（$a\ne 0$）

(2) $a>0$ 时和小于 $\frac{1}{a}$，$a<0$ 时和大于 $\frac{1}{a}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设公差为 $d$，则 $a_1=a$，$a_2=a+d$，$a_4=a+3d$。

三个倒数成等比：${\left(\frac{1}{a_2}\right)}^2=\frac{1}{a_1{a}_4}$，即 $a_1{a}_4=a_2^2$：

$a(a+3d)=(a+d{)}^2\Rightarrow a^2+3ad=a^2+2ad+d^2\Rightarrow d(a-d)=0$。

由 $d\ne 0$ 得 $d=a$（此时 $a\ne 0$，否则 $\frac{1}{a_1}$ 无意义）。故 $a_n=a+(n-1)a=na$。

(2) 由 $a_{2^k}=2^{k}a$，所求和

$S_n=\frac{1}{2a}+\frac{1}{4a}+\cdots +\frac{1}{2^{n}a}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^n}\right)=\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$。

于是 $S_n-\frac{1}{a}=-\frac{1}{a\cdot 2^n}$。

当 $a>0$ 时 $S_n<\frac{1}{a}$；当 $a<0$ 时 $S_n>\frac{1}{a}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差与等比的综合条件；等比求和；符号讨论

核心方法：“倒数成等比”去分母化成 $a_1{a}_4=a_2^2$；求和后作差比较，差式中只剩 $-\frac{1}{a\cdot 2^n}$，符号由 $a$ 决定

避坑指南：由 $d(a-d)=0$ 取 $d=a$ 后须说明 $a\ne 0$（$a=0$ 时 $\frac{1}{a_1}$ 无意义）；第 (2) 问是对 $a$ 的符号分类而非对 $n$ 讨论，$-\frac{1}{a\cdot 2^n}$ 的符号永不变向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列题与 2012-重庆卷文-16、2013-大纲卷文-17、2012-湖北卷文-20 同族。

结论推广：推广：倒数成等比的条件等价于 $a_1{a}_4=a_2^2$，对等差数列即 $a_1(a_1+3d)=(a_1+d{)}^2$，通解为 $d=a_1$（$d\ne 0$）或恒等退化。

方法推广：数列大题：条件先标准化（等比中项 = 去分母）；比较大小题先作差化到最简，再看”哪个参数决定符号”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-16 解-等差数列通项与等比
• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和
• 2012-湖北卷文-20 解-等差数列与绝对值求和