2009-天津卷理-07 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的图象变换与性质，要求熟练掌握周期公式、诱导公式以及图象左右平移的基本规律。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$ ($x\in \mathbf{R},\omega >0$) 的最小正周期为 $\pi$.为了得到函数 $g(x)=\cos \omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象 ()

A. 向左平移 $\frac{\pi }{8}$ 个单位长度　　　　　　B. 向右平移 $\frac{\pi }{8}$ 个单位长度

C. 向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位长度　　　　　　D. 向右平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位长度

🔍【思路分析】

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1. 由周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi$ 求出 $\omega =2$。

2. 利用诱导公式将目标函数 $g(x)=\cos 2x$ 转化为正弦形式 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$。

3. 比较 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的相位差，依据“左加右减”原则确定平移方向和距离。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，且 $\omega >0$，所以 $\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$。 则 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$， $g(x)=\cos 2x=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)+\frac{\pi }{4}\right]$。 比较可知，将 $y=f(x)$ 的图象中所有点的横坐标向左平移 $\frac{\pi }{8}$ 个单位长度，即可得到 $g(x)$ 的图象。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的周期、诱导公式及函数图象的平移变换。

2. 核心方法：同名变换法（统一化为正弦或余弦形式再比较）。

3. 避坑指南：在进行图象平移变换时，平移的单位量必须是对自变量 $x$ 而言的，即需要提取出 $x$ 的系数 $\omega$。如 $2x+\frac{\pi }{2}=2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)+\frac{\pi }{4}$，平移量为 $\frac{\pi }{8}$ 而不是 $\frac{\pi }{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中正弦函数与余弦函数图象变换的互化问题。

2. 结论推广: 函数 $y=A\sin (\omega x+{\varphi }_1)$ 变换为 $y=A\sin (\omega x+{\varphi }_2)$，若 ${\varphi }_2>{\varphi }_1$，则图象向左平移 $\frac{{\varphi }_2-{\varphi }_1}{\omega }$ 个单位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数