2009-天津卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形的核心知识，通过正弦定理进行边角互化求出未知边长，再结合余弦定理与三角恒等变换公式求解复合三角函数值。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$BC=\sqrt{5}$, $AC=3$, $\sin C=2\sin A$.

(1) 求 $AB$ 的值；

(2) 求 $\sin \left(2A-\frac{\pi }{4}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一步：利用正弦定理将已知条件 $\sin C=2\sin A$ 转化为对应边长的比例关系 $c=2a$，从而直接求得 $AB$ 的长度。

2. 第二步：已知三角形三边长，利用余弦定理计算出 $\cos A$，再根据同角三角函数平方关系求出 $\sin A$。

3. 第三步：利用二倍角公式计算出 $\sin 2A$ 和 $\cos 2A$，最后运用两角差的正弦公式展开求得最终结果。

✅【答案】

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$（1）AB=2\surd 5.（2）sin(2A-\pi 4)=\surd 2$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $c\sin A=a\sin C$ 又因为 $\sin C=2\sin A$ 且 $\sin A\ne 0$， 所以 $c=2a$。 已知 $a=BC=\sqrt{5}$， 所以 $AB=c=2\sqrt{5}$。

(2) 由余弦定理，得： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3^2+(2\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}{2\times 3\times 2\sqrt{5}}=\frac{9+20-5}{12\sqrt{5}}=\frac{24}{12\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 因为 $A$ 为三角形内角，$\sin A>0$，所以： $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 于是可得二倍角值： $\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \frac{1}{\sqrt{5}}\times \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$ $\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$ 因此： $\sin \left(2A-\frac{\pi }{4}\right)=\sin 2A\cos \frac{\pi }{4}-\cos 2A\sin \frac{\pi }{4}=\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的边角转换性质，余弦定理求角，三角恒等变换的综合运用。

2. 核心方法：边角互化后通过“已知三边求任意角”的标准化解题路径。

3. 避坑指南：在开方求 $\sin A$ 时需要注意因 $A$ 为三角形内角而使得 $\sin A$ 恒为正，但需警惕 $\cos A$ 存在为负（钝角）的可能性（本题为锐角）；最后使用两角差公式展开时注意符号，莫将 $\sin (\alpha -\beta )$ 错记为两项相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于新课标教材解三角形与三角恒等变换两章的课后复习题进行有机整合，是历年高考中解答题第一题（通常为第17题）的典型标杆题型。

2. 结论推广: 若已知 $△ABC$ 中 $\sin C=k\sin A$ 且已知 $a,b$，则可通过 $c=ka$ 配合余弦定理唯一确定该三角形的结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数