2009-安徽卷文-09 单-导数与辅助角

本题导读

考查导数与辅助角。$f^{\prime }(1)=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$，$\theta +\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{4}\right]$，值域 $\left[\sqrt{2},2\right]$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 设函数 $f(x)=\frac{\sin \theta }{3}{x}^3+\frac{\sqrt{3}\cos \theta }{2}{x}^2+\tan \theta$，其中 $\theta \in \left[0,\frac{5\pi }{12}\right]$，则导数 $f^{\prime }(1)$ 的取值范围是 ()

A. $[-2,2]$　　　　B. $\left[\sqrt{2},\sqrt{3}\right]$　　　　C. $\left[\sqrt{3},2\right]$　　　　D. $\left[\sqrt{2},2\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=\sin \theta x^2+\sqrt{3}\cos \theta x$，代入 $x=1$：$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$。
2. 合一：$2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$，令 $\phi =\theta +\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{4}\right]$。
3. $\sin \phi$ 最大 $1$，最小 $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $f^{\prime }(1)\in \left[\sqrt{2},2\right]$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

对 $x$ 求导得 $f^{\prime }(x)=\sin \theta x^2+\sqrt{3}\cos \theta x$，所以 $f^{\prime }(1)=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$。 令 $\phi =\theta +\frac{\pi }{3}$，则 $\phi \in \left[\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{4}\right]$。 在该区间上，$\sin \phi$ 的最大值为 $1$，最小值为 $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， 故 $f^{\prime }(1)\in \left[\sqrt{2},2\right]$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的运算与辅助角公式

核心方法：求导代入后合一变形

避坑指南：$f^{\prime }(1)=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$；区间 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{4}\right]$ 的最小值在右端点 $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，别误以为 $\sin$ 在区间内单调。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数与三角结合的取值范围题重在每个环节都算准。

结论推广：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，$\tan \phi =\frac{b}{a}$。

方法推广：整体代换后按正弦图象读最值：峰、谷、端点一个都不能漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-04 填-辅助角最值
• 2011-湖北卷文-06 单-辅助角不等式
• 2011-安徽卷文-15 填-辅助角恒成立多选判断