2011-安徽卷文-15 填-辅助角恒成立多选判断

本题导读

本题考查辅助角公式，以及三角函数的最大值与恒成立。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 设 $f(x)=a\sin 2x+b\cos 2x$，其中 $a$，$b\in \mathbf{R}$，$ab\ne 0$，若 $f(x)⩽\left|f\left(\frac{\pi }{6}\right)\right|$ 对一切 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立，则

① $f\left(\frac{11\pi }{12}\right)=0$；

② $f\left(\frac{7\pi }{10}\right)<\left|f\left(\frac{\pi }{5}\right)\right|$；

③ $f(x)$ 既不是奇函数，也不是偶函数；

④ $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left[k\pi +\frac{\pi }{6},k\pi +\frac{2\pi }{3}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）；

⑤ 存在经过点 $(a,b)$ 的直线与函数 $f(x)$ 的图象不相交.

以上结论正确的是　　.（写出所有正确结论的编号）

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：恒成立 $\Rightarrow |f(\frac{\pi }{6})|=\sqrt{a^2+b^2}$
2. 步骤2：化简得 $a=\sqrt{3}b$
3. 步骤3：取 $f(x)=2b\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 逐条判断

✅【答案】

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正确的是 ①③

✍【详细解析】

Abstract

由辅助角公式 $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (2x+\phi )$，其最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$。

恒成立 $f(x)⩽\left|f\left(\frac{\pi }{6}\right)\right|$ 说明 $\left|f\left(\frac{\pi }{6}\right)\right|$ 就是最大值，即 ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b\right)}^2=a^2+b^2$，化简得 $(a-\sqrt{3}b{)}^2=0$，即 $a=\sqrt{3}b$。

于是 $f(x)=2b\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$（$b\ne 0$）。

① $f\left(\frac{11\pi }{12}\right)=2b\sin \left(\frac{11\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)=2b\sin 2\pi =0$，成立。

② 当 $b>0$ 时 $f\left(\frac{7\pi }{10}\right)=2b\sin \frac{47\pi }{30}=-2b\sin \frac{17\pi }{30}<0<2b\sin \frac{17\pi }{30}=\left|f\left(\frac{\pi }{5}\right)\right|$；当 $b<0$ 时两处符号同时反转，$f\left(\frac{7\pi }{10}\right)=\left|f\left(\frac{\pi }{5}\right)\right|$，不等号不成立。结论对任意 $b$ 不必然成立，不正确。

③ $a=\sqrt{3}b$ 且 $ab\ne 0$，故 $a$，$b$ 都不为零，$f(x)$ 同时含 $\sin 2x$ 与 $\cos 2x$：$f(-x)=-a\sin 2x+b\cos 2x\ne \pm f(x)$，既不是奇函数也不是偶函数，成立。

④ 由 $2x+\frac{\pi }{6}\in \left[2k\pi -\frac{\pi }{2},2k\pi +\frac{\pi }{2}\right]$ 得增区间 $\left[k\pi -\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{\pi }{6}\right]$，与④所给区间不符，不正确。

⑤ $f$ 的值域为 $[-2|b|,2|b|]$，而点 $(a,b)$ 满足 $|b|⩽2|b|$。对任一条斜率存在的直线 $y=kx+m$，可取 $x_1$ 使 $k{x}_1+m>2|b|$，此时直线上方无图象、$f(x_1)-(k{x}_1+m)<0$；再取 $x_2$ 使 $k{x}_2+m<-2|b|$，相应差 $>0$。由介值性直线与图象必有交点；竖直线 $x=a$ 与周期曲线也必相交。故不存在这样的直线，不正确。

综上，正确的结论是①③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$a\sin x+b\cos x$ 的最大值 $\sqrt{a^2+b^2}$；恒成立条件的等价转化；正弦型函数的奇偶性、单调区间；有界函数与直线的相交性

核心方法：把”恒成立”翻译成”$|f(\pi /6)|$ 取到最大值”，平方化简锁定 $a$，$b$ 的关系，再逐条定量检验

避坑指南：”$f(x)⩽|f(\pi /6)|$ 恒成立”不是”$f(\pi /6)$ 附近最大”，而是 $|f(\pi /6)|$ 等于全局最大值 $\sqrt{a^2+b^2}$——漏掉这层等价转化就无法定 $a$，$b$；②在 $b<0$ 时不成立，说明”对某个 $b$ 成立”不算正确结论，必须对一切满足条件的 $a$，$b$ 成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角恒成立多选判断题与 2011-上海卷文-04、2011-新课标卷文-11、2011-湖北卷文-06 同族。

结论推广：推广：$f(x)⩽M$ 对一切 $x$ 恒成立且 $M=|f(x_0)|$，则 $M$ 必为 $f$ 的最大值（先取 $x$ 使 $f$ 逼近最大值即可说明）；对 $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (2x+\phi )$ 型，一切性质问题都化为相位 $2x+\phi$ 的区间运算。

方法推广：“多选判断”题：先把条件转化为参数的等量关系把函数定下来，再逐条定量计算；判断”存在性”结论时构造反例或用介值定理说明。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-04 填-辅助角最值
• 2011-新课标卷文-11 单-三角函数图象性质
• 2011-湖北卷文-06 单-辅助角不等式