2009-安徽卷理-03 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质、离心率的计算公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 下列曲线中离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 的是 ()

A. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$

C. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{6}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{10}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 四个选项对应的曲线都是中心在原点、焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 形式。
2. 双曲线的离心率公式为 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。
3. 已知 $e=\frac{\sqrt{6}}{2}⟹e^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。由 $1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{2}$ 推出 $a^2$ 与 $b^2$ 的比例关系，进行逐项核对。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：四个选项均为焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 形式。 在双曲线中，半焦距满足关系： $c^2=a^2+b^2$。 其离心率为 $e=\frac{c}{a}$，则离心率的平方为： $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}$ 题目给出离心率 $e=\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以： $e^2={\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ 令 $1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{2}⟹\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}⟹a^2=2b^2$。

接下来比对各选项中的分母：

• 对于 (A) 项： $a^2=2,b^2=4$，此时 $a^2=\frac{1}{2}{b}^2$，不符；
• 对于 (B) 项： $a^2=4,b^2=2$，此时 $4=2\times 2⟹a^2=2b^2$，符合要求；
• 对于 (C) 项： $a^2=4,b^2=6$，不符；
• 对于 (D) 项： $a^2=4,b^2=10$，不符。

验证 (B) 项： $c^2=a^2+b^2=4+2=6⟹c=\sqrt{6}$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，完全正确。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线中几何量之间的等值关系 $c^2=a^2+b^2$；离心率平方公式 $e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$。
2. 核心方法：公式特征逆向匹配法。
3. 避坑指南：切忌将双曲线的关系式误记为椭圆的 $c^2=a^2-b^2$，混淆基本关系会导致算出来的比例关系颠倒，从而错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中双曲线的几何性质（标准方程、离心率、渐近线）基础概念巩固题。
2. 结论推广：对于焦点在坐标轴上的双曲线，其离心率与渐近线斜率 $k$ 密切相关。焦点在 $x$ 轴上时， $e=\sqrt{1+k^2}$。本题由 $e=\frac{\sqrt{6}}{2}$ 可知 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而可极其迅速地锁定选项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-03 填-双曲线
• 2011-上海卷理-23 解-双曲线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线