2011-上海卷理-03 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的焦点坐标与焦距关系。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 设 $m$ 为常数，若点 $F(0,5)$ 是双曲线 $\frac{y^2}{m}-\frac{x^2}{9}=1$ 的一个焦点，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 焦点 $F(0,5)$ 位于 $y$ 轴正半轴，得出焦半距 $c=5$。
2. 由标准方程确定 $a^2=m,b^2=9$。
3. 利用双曲线关系式 $c^2=a^2+b^2$ 解出 $m$。

✅【答案】

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16

✍【详细解析】

Abstract

因为双曲线方程为 $\frac{y^2}{m}-\frac{x^2}{9}=1$，焦点在 $y$ 轴上， 所以 $a^2=m$（$m>0$），$b^2=9$。 又已知焦点为 $F(0,5)$，所以半焦距 $c=5$。 由双曲线几何性质 $c^2=a^2+b^2$，得： $5^2=m+9⟹25=m+9$ 解得： $m=16$ 故答案为：16。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线标准方程的结构特征与基本量公式 $c^2=a^2+b^2$。
• 核心方法：由焦点坐标定轴向（$y$ 轴）和焦半距 $c$，代入平方和关系求参。
• 避坑指南：切勿将双曲线的 $c^2=a^2+b^2$ 与椭圆的 $c^2=a^2-b^2$ 记混。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修/高二解析几何中双曲线标准方程及焦点性质的基础题。
• 结论推广：双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 的焦点恒在 $y$ 轴，焦点坐标为 $(0,\pm \sqrt{a^2+b^2})$。

🔗【关联脉络】

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