2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线

本题导读

本题考查双曲线的渐近线方程。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 已知双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的一条渐近线的方程为 $y=2x$，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$
2. 步骤2：此处 $a=1$

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中 $a^2=1$，$a=1$。

渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm bx$。由一条渐近线为 $y=2x$ 得 $b=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线方程与标准方程的对应

核心方法：焦点在 $x$ 轴：渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$；斜率比直接读出 $b/a$

避坑指南：渐近线斜率是 $\frac{b}{a}$ 不是 $\frac{a}{b}$；本题 $a=1$ 时两者数值巧合一致，但换题时要分清焦点位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：渐近线小题与 2013-新课标I卷文-04（双曲线渐近线）、2012-湖南卷文-06（双曲线渐近线方程）同族。

结论推广：推广：共渐近线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda (\lambda \ne 0)$；渐近线与离心率互换公式 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。

方法推广：渐近线填空：先由标准方程定焦点轴与 $a,b$，再写渐近线比对斜率；反求参数时代入即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2012-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线方程