2009-安徽卷理-17 解-分布列

本题导读

本题考查独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的分布列。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 某地有 $A,B,C,D$ 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 $A$ 到过疫区. $B$ 肯定是受 $A$ 感染的. 对于 $C$，因为难以断定他是受 $A$ 还是受 $B$ 感染的，于是假定他受 $A$ 和受 $B$ 感染的概率都是 $\frac{1}{2}$. 同样也假定 $D$ 受 $A$、 $B$ 和 $C$ 感染的概率都是 $\frac{1}{3}$. 在这种假定之下， $B,C,D$ 中直接接受 $A$ 感染的人数 $X$ 就是一个随机变量. 写出 $X$ 的分布列（不要求写出计算过程），并求 $X$ 的均值（即数学期望）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析直接受 $A$ 感染的确定性与概率： $B$ 必受 $A$ 感染（概率为 1）； $C$ 受 $A$ 感染概率为 $\frac{1}{2}$； $D$ 受 $A$ 感染概率为 $\frac{1}{3}$。各人受谁感染相互独立。
2. 确定 $X$ 的可能取值范围：最小为 1（仅 $B$），最大为 3（ $B,C,D$ 均是），故 $X$ 可取 1, 2, 3。
3. 利用独立事件同时发生的乘法公式求出各取值的概率，列出分布列并计算期望。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意， $B,C,D$ 是否直接受 $A$ 感染是相互独立的。 其中 $B$ 直接受 $A$ 感染的概率为 1； $C$ 直接受 $A$ 感染的概率为 $\frac{1}{2}$； $D$ 直接受 $A$ 感染的概率为 $\frac{1}{3}$。 随机变量 $X$ 的可能取值为 1, 2, 3。

• $P(X=1)=1\times \left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)=1\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
• $P(X=2)=1\times \frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{3}\right)+1\times \left(1-\frac{1}{2}\right)\times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$
• $P(X=3)=1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

随机变量 $X$ 的分布列为：

$X$	1	2	3
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

故 $X$ 的均值（数学期望）为： $E(X)=1\times \frac{1}{3}+2\times \frac{1}{2}+3\times \frac{1}{6}=\frac{1}{3}+1+\frac{1}{2}=\frac{11}{6}$ （另解：利用数学期望的线性性质， $E(X)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件的概率乘法公式；离散型变量期望的计算。
2. 核心方法：事件拆分法。
3. 避坑指南：审题时注意 $X$ 定义为“直接接受 $A$ 感染的人数”，由于 $B$ 必定直接受 $A$ 感染，所以 $X$ 的最小值不可能为 0，必须从 1 开始计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于概率网络传染病学模型（SIRS 模型的基础概率离散化演变），通过实际生活情境考查独立性检验。
2. 结论推广：若有 $n$ 个独立个体，第 $i$ 个个体发生的概率为 $p_i$，则发生总次数的数学期望恒等于各单项概率之和，即 $E(X)=\sum p_i$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率