2009-山东卷理-03 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换以及三角恒等变换。重点在于平移时必须针对自变量 $x$ 整体进行变换，并能灵活运用二倍角公式将所得解析式进行变形化简。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 将函数 $y=\sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是 ()

A. $y=\cos 2x$　　B. $y=2{\cos }^{2}x$　　C. $y=1+\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$　　D. $y=2{\sin }^{2}x$

🔍【思路分析】

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1. 第一步：左右平移。向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，即用 $x+\frac{\pi }{4}$ 代替原解析式中的自变量 $x$。

2. 第二步：向上平移。向上平移 1 个单位，即在所得函数式后面整体加 1。

3. 第三步：恒等变形。利用诱导公式化简解析式，再利用二倍角公式进行变形，与选项进行比对。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将函数 $y=\sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，所得解析式为： $y=\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$ 利用诱导公式 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \theta$，化简得： $y=\cos 2x$ 再将图象向上平移 1 个单位，所得解析式为： $y=\cos 2x+1$ 由于选项中没有直接对应的形式，利用余弦的二倍角公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ 进行变形： $y=(2{\cos }^{2}x-1)+1=2{\cos }^{2}x$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数图象平移变换规律、诱导公式与二倍角公式。

2. 核心方法：自变量整体替换法。即向左平移 $\phi$ 个单位，是将 $x$ 整体替换为 $x+\phi$。

3. 避坑指南：平移变换极易在系数上犯错。向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 时，常有学生错误写成 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。记住平移只针对自变量 $x$ 本身，必须带括号，即 $2x\to 2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题由人教A版必修中“函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象”与“三角恒等变换”两部分内容综合所得，侧重考查变换的规范性和公式的灵活调用。

2. 结论推广：一般地，函数 $y=f(\omega x+\phi )$ 的图象向左平移 $d$ 个单位，所得图象的解析式为 $y=f[\omega (x+d)+\phi ]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数