2009-山东卷理-06 单-指数

本题导读

本题考查函数图象的辨识与分析。解决此类问题的核心方法是性质排除法，通过快速分析函数的定义域、奇偶性、特殊点处的极限（渐近线），即可在不画出完整图像的情况下准确排除错误选项。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 函数 $y=\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}}$ 的图象大致为 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求定义域：分母不能为 $0$，令 ${\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}\ne 0$，求出定义域，以此排除不符的图像。
2. 判定奇偶性：计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较。若为奇函数，则图像关于原点对称；若为偶函数，则关于 $y$ 轴对称。
3. 分析特殊位置的极限（渐近线）：

• 分析当 $x\to 0^{+}$ 和 $x\to 0^{-}$ 时，函数值的趋势；

• 分析当 $x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$ 时，函数值趋近于什么常数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}}$。

1. 分析定义域： 由分母 ${\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}\ne 0$，得 ${\text{e}}^x\ne {\text{e}}^{-x}⟹x\ne -x⟹x\ne 0$。 所以该函数的定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，在 $x=0$ 处无意义，即其图像在 $y$ 轴上没有点。 由此可排除 B、C、D（因为这些选项的图像在 $x=0$ 处或有定义，或没有呈现 $x=0$ 处的渐近线趋势）。

2. 判定奇偶性（进行确认）： $f(-x)=\frac{{\text{e}}^{-x}+{\text{e}}^x}{{\text{e}}^{-x}-{\text{e}}^x}=-\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}}=-f(x)$ 所以 $f(x)$ 为奇函数，其图象关于原点对称。选项 A 的图像关于原点对称，符合奇函数特征。

3. 分析极值与渐近线（验证 A 选项）：

• 当 $x\to 0^{+}$ 时，${\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}\to 2$ 且 ${\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}$ 为极小的正数，因此 $f(x)\to +\infty$；
• 当 $x\to +\infty$ 时， $f(x)=\frac{1+{\text{e}}^{-2x}}{1-{\text{e}}^{-2x}}$ 因为 ${\text{e}}^{-2x}\to 0$，所以 $f(x)\to 1$。即 $y=1$ 是图象的右水平渐近线。
• 同理，当 $x\to -\infty$ 时，$f(x)\to -1$，即 $y=-1$ 是图象的左水平渐近线。 这些特征均与 A 选项图象完全吻合。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数定义域的限制、奇偶性的对称性应用、自变量趋于无穷或特殊点时的函数逼近值。

2. 核心方法：性质排除法。作图选择题不需要画出精准图象，只需利用“定义域、奇偶性、特殊值/极限”进行多维度排除。

3. 避坑指南：有些学生习惯通过求导分析单调性来作图，虽然严谨但在此类选择题中耗时过长。直接求 $x\to 0$ 时的极限，可以极其快速地秒杀非渐近线型选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题的函数 $y=\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}}$ 实际上是高等数学中的双曲余切函数 $y=\coth x$。它是双曲正切函数 $y=\tanh x=\frac{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}$ 的倒数。
2. 结论推广：双曲函数具有类似三角函数的优美性质。

• 双曲正切 $y=\tanh x$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，值域为 $(-1,1)$。

• 双曲余切 $y=\coth x$ 是定义在 $\{x\mid x\ne 0\}$ 上的奇函数，值域为 $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值