2011-上海卷理-20 解-指数函数

本题导读

本题考查指数函数的性质与单调性。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=a\cdot 2^x+b\cdot 3^x$，其中常数 $a,b$ 满足 $a\cdot b\ne 0$.

(1) 若 $a\cdot b>0$，判断函数 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若 $a\cdot b<0$，求 $f(x+1)>f(x)$ 时的 $x$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：由 $a\cdot b>0$ 可分两类讨论：

• 当 $a>0$ 且 $b>0$ 时，$2^x$ 和 $3^x$ 均在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增，正倍数和仍为增函数；
• 当 $a<0$ 且 $b<0$ 时，$a\cdot 2^x$ 和 $b\cdot 3^x$ 均在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递减，负倍数和为减函数。

2. 对 (2)：列出不等式 $f(x+1)-f(x)>0$，展开整理得 $a\cdot 2^x+2b\cdot 3^x>0$。

• 因 $a\cdot b<0$，两系数异号，移项后两边除以正数 $2^x$，化为关于 ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ 的简单指数不等式；
• 分 $a>0,b<0$ 与 $a<0,b>0$ 两种情形讨论并取对数求出 $x$ 的范围。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题设知，$y=2^x$ 与 $y=3^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上均为严格单调递增函数。 因为 $a\cdot b>0$，所以 $a$ 与 $b$ 同号：

• 当 $a>0,b>0$ 时： 由于 $y=2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，且 $a>0$，故 $y=a\cdot 2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增； 同理，由于 $y=3^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，且 $b>0$，故 $y=b\cdot 3^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。 两增函数之和仍为增函数， 所以函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是单调递增函数。
• 当 $a<0,b<0$ 时： 由于 $y=2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，且 $a<0$，故 $y=a\cdot 2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减； 同理，由于 $y=3^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，且 $b<0$，故 $y=b\cdot 3^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减。 两减函数之和仍为减函数， 所以函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是单调递减函数。

(2) 由 $f(x+1)>f(x)$，得： $a\cdot 2^{x+1}+b\cdot 3^{x+1}>a\cdot 2^x+b\cdot 3^x$ 整理得： $a(2^{x+1}-2^x)+b(3^{x+1}-3^x)>0$ $a\cdot 2^x+2b\cdot 3^x>0$ 因为对任意 $x\in \mathbf{R}$，恒有 $2^x>0$，不等式两边同除以 $2^x$，得： $a+2b{\left(\frac{3}{2}\right)}^x>0$ 已知 $a\cdot b<0$，分以下两种情况讨论：

• 当 $a>0,b<0$ 时： 由于 $2b<0$，移项得： $2b{\left(\frac{3}{2}\right)}^x>-a⟹{\left(\frac{3}{2}\right)}^x<-\frac{a}{2b}$ 因为 $a>0,b<0$，所以 $-\frac{a}{2b}>0$。 两边以 $\frac{3}{2}$ 为底取对数，因为底数 $\frac{3}{2}>1$，对数函数单调递增，得： $x<{\log }_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{a}{2b}\right)$
• 当 $a<0,b>0$ 时： 由于 $2b>0$，移项得： $2b{\left(\frac{3}{2}\right)}^x>-a⟹{\left(\frac{3}{2}\right)}^x>-\frac{a}{2b}$ 因为 $a<0,b>0$，所以 $-\frac{a}{2b}>0$。 两边以 $\frac{3}{2}$ 为底取对数，得： $x>{\log }_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{a}{2b}\right)$

综上所述：

• 当 $a>0,b<0$ 时，$x$ 的取值范围为 $\left(-\infty ,{\log }_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{a}{2b}\right)\right)$；
• 当 $a<0,b>0$ 时，$x$ 的取值范围为 $\left({\log }_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{a}{2b}\right),+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：指数函数单调性、同增为增性质、分类讨论思想、指数与对数变形。
• 核心方法：
• 第 (1) 问根据 $a,b$ 同正同负分类直接由初等函数单调性叠加判定；
• 第 (2) 问提取公因式并同除以 $2^x$，化多元为一元指数式 ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$。
• 避坑指南：
• 在不等式两边除以 $2b$ 时，必须注意 $2b$ 的正负号以确定是否改变不等号方向；
• 结果必须用对数符号精确写出真数 $-\frac{a}{2b}$（因 $a,b$ 异号，真数严格为正）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版/沪教版高一上册指数函数性质与不等式综合解答题。
• 结论推广：对于指数多项式 $f(x)=\sum c_i{p}_i^x$，当系数全正或全负时为严格单调函数；若两项异号，其差分方程零点由对数唯一确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-10 单-单调性
• 2013-湖北卷理-02 单-集合的补集与交集