本题导读
本题是一道综合考查函数奇偶性、周期性、单调性以及对称轴的高考压轴填空题。要求学生能够通过抽象函数关系式推导出函数的性质，并通过性质在大范围内分析方程根的对称分布规律，进行求和。
📌【题干】
Question
（2009年山东卷(理)） 已知定义在 上的奇函数 ，满足 ，且在区间 上是增函数.若方程 在区间 上有四个不同的根 ，则 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 推导周期性与对称性：
- 由 推导函数的周期 。
- 结合奇函数性质 ，探寻图象的对称轴或对称中心。
- 刻画单调性与图象草图：
- 根据在 上的单调性以及对称性，画出 在一个周期内的简图。
- 分析交点（根）的对称分布：
找出 与 在 上四个交点的具体区间。
利用对称轴，将交点两两成对进行求和。
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-8
✍【详细解析】
Abstract
1. 确定函数的性质：
- 周期性： 因为 ，所以 。 故 是以 为周期的周期函数。
- 对称轴： 因为 是奇函数，有 。 结合已知：。 由于 恒成立，所以函数 的图象关于直线 对称。 同理，其也关于直线 （即所有对称轴，包括 ）对称。
2. 描绘函数在 上的单调性与走势：
- 因为 为奇函数，且 在 上是增函数，所以 在 上也是增函数。由于 且 ，所以当 时，，在此区间内方程 无根。
- 在 上， 单调递增，值从 增至极大值 。
- 在 上，由于图象关于 对称，所以 单调递减，值从 降至 。
- 在 上，由 可知，该段的值为 段的相反数（即均为负数或零），因此在此区间内方程 无根。
- 综上，在正半轴区间 上，只有在 区间内存在与 的交点。因为图象关于 对称，故该区间内有且仅有 个根（设为 ），它们关于 对称：
3. 利用周期性转移到负半轴：
- 负半轴区间 是正半轴 的平移。
- 对应地，只有在 区间内存在与 的交点。
- 由于对称轴为 ，所以这 2 个根（设为 ）关于直线 对称：
4. 求根的总和： 方程在 上恰有 4 个根，其和为：
故填：-8。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：抽象函数的对称轴与周期性推导、方程根的对称性求和。
- 核心方法：
- 代数推导法：由 和 联立推得对称轴 和周期 。
- 特殊函数法（秒杀）：构造符合条件的具体函数，如 ，能极快且准确地算出答案。
避坑指南：有些同学容易将对称轴误判为 。切记要通过严格的代数式变形或利用特殊函数去验证，确保对称轴、周期无误，否则求和结果会完全颠倒。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题将三角函数的对称、周期与单调特征高度抽象化，构成了一道高规格的抽象函数压轴题。
- 结论推广： 若奇函数 满足 ：
则 具有周期 。
其关于直线 轴对称。
关于点 中心对称。
🔗【关联脉络】
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