2009-山东卷理-18 解-面面垂直

本题导读

本题是一道立体的几何综合大题。第一问要求证明线面平行，通过底面等腰梯形的边长关系，构造出面面平行，从而简捷地证明线面平行；第二问求二面角的余弦值，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的法向量夹角公式进行精确计算，考查考生的空间想象能力和逻辑推演能力。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 如图，在直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，底面 $ABCD$ 为等腰梯形，$AB\parallel CD$，$AB=4$，$BC=CD=2$，$A{A}_1=2$，$E,E_1,F$ 分别是棱 $AD,A{A}_1,AB$ 的中点.

(1) 证明：直线 $E{E}_1\parallel$ 平面 $FC{C}_1$；

(2) 求二面角 $B-F{C}_1-C$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问证明思路：

• 证明线面平行通常有“线线平行”和“面面平行”两种路径。
• 观察发现：因为 $F$ 为 $AB$ 中点且 $AB=4$，所以 $AF=2$。由于 $CD=2$ 且 $CD\parallel AF$，可得 $AFCD$ 为平行四边形，故 $AD\parallel FC$。
• 结合直棱柱性质有 $A{A}_1\parallel C{C}_1$。因此，平面 $AD{D}_1{A}_1\parallel$ 平面 $FC{C}_1$。由于 $E{E}_1\subset$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$，即可直接证得线面平行。

2. 第二问计算思路：

• 建立空间直角坐标系。在底面等腰梯形 $ABCD$ 中，由于 $F$ 为 $AB$ 中点，易得 $△FBC$ 为等边三角形，其高为 $\sqrt{3}$。

• 以 $F$ 为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标。

• 分别求出平面 $BF{C}_1$ 和平面 $CF{C}_1$ 的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值。

✅【答案】

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（1）直线𝐸𝐸1∥平面𝐹𝐶𝐶1.（2）二面角𝐵−𝐹𝐶1−𝐶的余弦值为√77.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：

因为 $F$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=4$，所以 $AF=2$。 又因为 $CD\parallel AB$，且 $CD=2$， 所以 $CD\parallel AF$ 且 $CD=AF$。 故四边形 $AFCD$ 为平行四边形，从而 $AD\parallel FC$。 因为 $FC\subset$ 平面 $FC{C}_1$，$AD\not\subset$ 平面 $FC{C}_1$， 所以 $AD\parallel$ 平面 $FC{C}_1$。 在直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，有 $A{A}_1\parallel C{C}_1$。 因为 $C{C}_1\subset$ 平面 $FC{C}_1$，$A{A}_1\not\subset$ 平面 $FC{C}_1$， 所以 $A{A}_1\parallel$ 平面 $FC{C}_1$。 又 $AD\cap A{A}_1=A$，且 $AD,A{A}_1\subset$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$， 所以平面 $AD{D}_1{A}_1\parallel$ 平面 $FC{C}_1$。 因为 $E,E_1$ 分别是 $AD,A{A}_1$ 的中点，所以 $E{E}_1\subset$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$。 从而直线 $E{E}_1\parallel$ 平面 $FC{C}_1$。

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(2) 解：

在等腰梯形 $ABCD$ 中，过 $C$ 作 $CH\perp AB$ 于 $H$。 因为 $CD=2,AB=4,BC=2$， 所以 $BH=\frac{AB-CD}{2}=1$。 在 $\text{Rt}△BCH$ 中，$CH=\sqrt{B{C}^2-B{H}^2}=\sqrt{3}$。 因为 $F$ 是 $AB$ 的中点，所以 $BF=2$。 以 $F$ 为坐标原点，分别以 $FB$ 所在直线为 $x$ 轴，过 $F$ 且平行于 $CH$ 的直线为 $y$ 轴， $F{F}_1$（即过 $F$ 且平行于 $A{A}_1$ 的直线）为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $F-xyz$。

根据几何关系，各点坐标如下： $F(0,0,0),B(2,0,0),C(1,\sqrt{3},0),C_1(1,\sqrt{3},2)$ 由此可得： $\overrightarrow{FB}=(2,0,0),\overrightarrow{F{C}_1}=(1,\sqrt{3},2),\overrightarrow{FC}=(1,\sqrt{3},0)$

设平面 $BF{C}_1$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{FB}=2x_1=0\\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{F{C}_1}=x_1+\sqrt{3}{y}_1+2z_1=0\end{array}$ 令 $z_1=-\sqrt{3}$，解得 $x_1=0,y_1=2$， 所以平面 $BF{C}_1$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(0,2,-\sqrt{3})$。

设平面 $CF{C}_1$（即平面 $FC{C}_1$）的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{FC}=x_2+\sqrt{3}{y}_2=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{C{C}_1}=2z_2=0\end{array}$ 令 $y_2=1$，解得 $x_2=-\sqrt{3},z_2=0$， 所以平面 $CF{C}_1$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(-\sqrt{3},1,0)$。

设二面角 $B-F{C}_1-C$ 的大小为 $\theta$。 由图可知，二面角 $\theta$ 为锐角，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0\times (-\sqrt{3})+2\times 1+(-\sqrt{3})\times 0|}{\sqrt{0^2+2^2+(-\sqrt{3}{)}^2}\times \sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+1^2+0^2}}=\frac{2}{\sqrt{7}\times 2}=\frac{\sqrt{7}}{7}$ 所以，二面角 $B-F{C}_1-C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何中线面平行的证明、建系法求解二面角。
2. 核心方法：

• 面面平行法证明线面平行：若平面 $\alpha \parallel$ 平面 $\beta$，且直线 $l\subset \alpha$，则必有 $l\parallel \beta$。此方法可以省去寻找线线平行的繁琐步骤。
• 坐标建系法：寻找底面中的垂直关系（如等腰梯形的高线与底边垂直），以交点为原点建系。

3. 避坑指南：

• 建系时务必验证三轴是否两两垂直。本题中由于 $CH\perp AB$，所以平行于 $CH$ 的直线与 $AB$ 垂直，配合直四棱柱的侧棱垂直底面，满足建系条件。

• 计算二面角法向量夹角后，需结合图形直观判断二面角是锐角还是钝角，从而确定其余弦值的正负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题基于经典的直棱柱模型进行命题。底面等腰梯形满足 $AB=2CD$，这是一个非常经典的多功能底面，在其中隐含有等边三角形（如 $△FBC$）和菱形（如 $AFCD$），是高考考查线面关系与角度计算的常用素材。

2. 结论推广：在直棱柱中，若底面一侧存在对称关系或特殊比例关系（如中点），常可利用面面平行来证明局部的线面平行。对于二面角问题，设两半平面法向量夹角为 $\phi$，则二面角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\pm |\cos \phi |$，具体符号由半平面的空间相对位置决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角