2009-广东卷理-12 填-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量分布列的基本性质以及期望与方差的计算。核心在于利用概率之和为 1，以及期望与方差的定义式构造三元一次方程组求解。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表. 若 $EX=0,DX=1$，则 $a=$ $\underline{}$， $b=$ $\underline{}$.

$X$	-1	0	1	2
$P$	$a$	$b$	$c$	$\frac{1}{12}$

🔍【思路分析】

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1. 由分布列中所有概率之和为 1，得到关于 $a,b,c$ 的第一个方程。

2. 由 $EX=0$ 得到关于 $a,c$ 的第二个方程；再由 $DX=E(X^2)-(EX{)}^2=1$ 得到关于 $a,c$ 的第三个方程。

3. 联立方程组求解出 $a,b,c$ 的值。

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$\frac{5}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

根据离散型随机变量分布列的性质，有： $a+b+c+\frac{1}{12}=1⟹a+b+c=\frac{11}{12}$ ①

由数学期望 $EX=0$，得： $(-1)\times a+0\times b+1\times c+2\times \frac{1}{12}=0⟹a-c=\frac{1}{6}$ ②

由方差 $DX=1$ 且 $EX=0$，根据公式 $DX=E(X^2)-(EX{)}^2=E(X^2)$，得： $(-1{)}^2\times a+0^2\times b+1^2\times c+2^2\times \frac{1}{12}=1⟹a+c+\frac{1}{3}=1⟹a+c=\frac{2}{3}$ ③

联立 ②③ 解得： $a=\frac{5}{12}$， $c=\frac{1}{4}$

将 $a,c$ 的值代入 ① 得： $\frac{5}{12}+b+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}⟹b=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

故填：$\frac{5}{12}$；$\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分布列的全概率性质（$\sum P=1$）、期望与方差的代数公式。

2. 核心方法：利用方差简化公式 $DX=E(X^2)-(EX{)}^2$ 能极大减少平方运算量。

3. 避坑指南：计算方差时，切记要先减去期望的平方 $(EX{)}^2$，虽然本题 $EX=0$，但在一般情况下极易漏掉此项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中离散型随机变量数字特征的推导与应用，是考查统计与概率基本功的常规题。

2. 结论推广：若离散型随机变量 $X$ 满足 $EX=0$ 且 $DX={\sigma }^2$，则其各可能取值的平方与其对应概率乘积之和必恒等于 ${\sigma }^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-17 解-期望