2007-福建卷理-15 填-离散型随机变量数学期望

本题导读

本题考查独立重复抽取（有放回投递）模型下的二项分布数学期望。每一封信投入某个具体邮箱的概率互不干扰，通过识别出变量 $\xi$ 服从二项分布，套用通用期望公式 $E\xi =np$ 实现快速求解。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 两封信随机投入 $A、B、C$ 三个空邮箱，则 $A$ 邮箱的信件数 $\xi$ 的数学期望 $E\xi =$ ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断事件的独立性与分布类别：

• 共有 2 封信（试验总次数 $n=2$）。
• 对于任何一封信，投入 $A,B,C$ 三个邮箱是完全等可能的，故每一封信投入 $A$ 邮箱的成功概率均为 $p=\frac{1}{3}$。
• 每封信的投递相互独立，因此 $A$ 邮箱内的信件数 $\xi$ 严格服从二项分布，即 $\xi \sim B\left(2,\frac{1}{3}\right)$。

2. 应用二项分布期望通式：二项分布的数学期望满足公式 $E\xi =n\cdot p$，代入即可。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：将每封信投入邮箱的过程看作是一次独立的随机试验。 总共有 2 封信，所以试验总次数 $n=2$。 由于信件是随机随机投入 3 个邮箱的，对于任意一封特定的信，其投入 $A$ 邮箱的概率为： $p=\frac{1}{3}$

因为两封信投递到哪一个邮箱的过程是完全相互独立的，所以 $A$ 邮箱最终留存的信件总数 $\xi$ 服从参数为 $n=2,p=\frac{1}{3}$ 的二项分布，记作： $\xi \sim B\left(2,\frac{1}{3}\right)$

根据二项分布离散型随机变量数学期望的通用计算公式： $E\xi =n\cdot p$ 代入参数值进行计算： $E\xi =2\times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

所以， $A$ 邮箱信件数 $\xi$ 的数学期望 $E\xi$ 为 $\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布模型的识别、二项分布期望公式 $E\xi =np$。
2. 核心方法：模型公式秒杀法。
3. 避坑指南：

• 也可以通过列出分布列求出： $\xi$ 产生可能值为 0, 1, 2。 $P(\xi =0)={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$； $P(\xi =1)={\text{C}}_2^1\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}$； $P(\xi =2)={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$。 $E\xi =0\times \frac{4}{9}+1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{1}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
• 能用模型公式时极力推荐用公式，这样可以极大降低分布列逐项计算产生低级算术错误的风险。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相互独立事件与二项分布、离散型随机变量的数学期望是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是相互独立事件与二项分布、离散型随机变量的数学期望的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用二项分布期望模型秒杀法、概率分布列推导法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-14 填-独立事件至少一个
• 2009-广东卷理-12 填-分布列
• 2010-湖北卷文-13 填-条件概率