2009-广东卷理-16 解-三角函数

本题导读

本题主要考查平面向量的坐标垂直条件、同角三角函数基本关系式以及两角差的三角公式。通过向量垂直建立正余弦之间的线性关系，再利用配角法求解未知角的三角函数值，注重考查基础运算与变形能力。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 已知向量 $\vec{a}=(\sin \theta ,-2)$ 与 $\vec{b}=(1,\cos \theta )$ 互相垂直，其中 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

(1) 求 $\sin \theta \cos \theta$ 的值；

(2) 若 $\sin (\theta -\phi )=\frac{\sqrt{10}}{10}$， $0<\phi <\frac{\pi }{2}$，求 $\cos \phi$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问利用 $\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 得到 $\sin \theta =2\cos \theta$，再结合齐次弦切互化或二次方关系式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 求解。

2. 第(2)问首先确定 $\theta -\phi$ 的单调范围并判定符号，由同角三角函数关系求出 $\cos (\theta -\phi )$ 的值，进而利用配角思想将目标角变形为 $\phi =\theta -(\theta -\phi )$，通过两角差的余弦公式展开即可。

✅【答案】

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因此sin 𝜃cos 𝜃= 25

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为向量 $\vec{a}=(\sin \theta ,-2)$ 与 $\vec{b}=(1,\cos \theta )$ 互相垂直， 所以 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\sin \theta -2\cos \theta =0$，即 $\sin \theta =2\cos \theta$. 又因为 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$， 所以 $(2\cos \theta {)}^2+{\cos }^2\theta =1⟹5{\cos }^2\theta =1⟹{\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$. 因为 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\cos \theta >0$, $\sin \theta >0$， 解得 $\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\sin \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5}$. 所以 $\sin \theta \cos \theta =\frac{2\sqrt{5}}{5}\times \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{5}$.

(2) 因为 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$, $0<\phi <\frac{\pi }{2}$， 所以 $-\frac{\pi }{2}<\theta -\phi <\frac{\pi }{2}$. 又因为 $\sin (\theta -\phi )=\frac{\sqrt{10}}{10}>0$， 所以 $0<\theta -\phi <\frac{\pi }{2}$. 因此 $\cos (\theta -\phi )=\sqrt{1-{\sin }^2(\theta -\phi )}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$. 利用配角公式 $\phi =\theta -(\theta -\phi )$ 可得： $\cos \phi =\cos [\theta -(\theta -\phi )]=\cos \theta \cos (\theta -\phi )+\sin \theta \sin (\theta -\phi )$ $=\frac{\sqrt{5}}{5}\times \frac{3\sqrt{10}}{10}+\frac{2\sqrt{5}}{5}\times \frac{\sqrt{10}}{10}$ $=\frac{3\sqrt{50}}{50}+\frac{2\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{50}}{50}=\frac{25\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直的充要条件（坐标运算形式）、两角差的余弦展开式。

2. 核心方法：配角变换法，即将未知角用已知角进行组合表达（如 $\phi =\theta -(\theta -\phi )$），能有效避免直接求角所带来的繁琐讨论。

3. 避坑指南：在开方求解 $\cos (\theta -\phi )$ 前，必须严密论证 $\theta -\phi$ 的取值区间以确定正负号，若缺少范围限定易扣除步骤分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的“向量搭台，三角唱戏”综合题型，源于教材中平面向量数量积应用及三角恒等变换的章节复习题。

2. 结论推广：若已知锐角 $\theta$ 满足 $\tan \theta =k$ ($k>0$)，且锐角 $\phi$ 满足 $\sin (\theta -\phi )=m$ ($0<m<\sin \theta$)，则恒有 $\cos \phi =\frac{3\sqrt{1-m^2}+km}{\sqrt{k^2+1}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数