2009-广东卷理-20 解-导数

本题导读

本题主要考查二次函数的导数应用、利用基本不等式求解曲线上动点到定点距离的最值问题，以及含参二次方程根的分类讨论。核心在于准确求出函数解析式，并严密展开逻辑讨论。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 已知二次函数 $y=g(x)$ 的导函数的图像与直线 $y=2x$ 平行，且 $y=g(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值 $m-1$ ($m\ne 0$). 设 $f(x)=\frac{g(x)}{x}$.

(1) 若曲线 $y=f(x)$ 上的点 $P$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$，求 $m$ 的值；

(2) $k$ ($k\in \mathbf{R}$) 如何取值时，函数 $y=f(x)-kx$ 存在零点，并求出零点.

🔍【思路分析】

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1. 设出二次函数标准式，根据导函数斜率及极值点坐标，利用待定系数法锁定 $g(x)$ 与 $f(x)$ 的解析式。

2. 第(1)问利用两点间距离公式建立目标代数式，通过基本不等式求出最小值，构造关于 $m$ 的方程分类讨论求解。

3. 第(2)问将函数零点问题转化为方程 $(1-k)x^2+2x+m=0$ ($x\ne 0$) 的实根问题，围绕二次项系数 $1-k$ 是否为 0 以及判别式 $\Delta$ 的正负，结合参数 $m$ 的符号进行全方位分类讨论。

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$m=\sqrt{2}-1$ 或 $m=-\sqrt{2}-1$.(2) 函数 $y=f(x)-kx$ 存在零点，即方程 $x+2+\frac{m}{x}-kx=0$ 在 $x\ne 0$ 时有实数解.去分母变形得： $(1-k)x^2 + 2x

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(x)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$)，则 $g^{\prime }(x)=2ax+b$. 因为 $g^{\prime }(x)$ 的图像与直线 $y=2x$ 平行，所以 $2a=2⟹a=1$. 又 $g(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值，故 $g^{\prime }(-1)=2(-1)+b=0⟹b=2$. 此时极小值为 $g(-1)=1-2+c=m-1⟹c=m$. 所以 $g(x)=x^2+2x+m$，其定义域为 $\mathbf{R}$， 从而 $f(x)=\frac{x^2+2x+m}{x}=x+2+\frac{m}{x}$ ($x\ne 0$).

(1) 设曲线 $y=f(x)$ 上的任一点为 $P\left(x,x+2+\frac{m}{x}\right)$ ($x\ne 0$)， 则 $P$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离平方为： $|PQ{|}^2=(x-0{)}^2+{\left(x+2+\frac{m}{x}-2\right)}^2=x^2+{\left(x+\frac{m}{x}\right)}^2=2x^2+\frac{m^2}{x^2}+2m$ 因为 $x\ne 0$，由基本不等式得： $2x^2+\frac{m^2}{x^2}\ge 2\sqrt{2x^2\cdot \frac{m^2}{x^2}}=2\sqrt{2}|m|$ 当且仅当 $2x^2=\frac{m^2}{x^2}⟹x^2=\frac{|m|}{\sqrt{2}}$ 时等号成立. 故 $|PQ{|}^2$ 的最小值为 $2\sqrt{2}|m|+2m$. 依题意有 $2\sqrt{2}|m|+2m=(\sqrt{2}{)}^2=2⟹\sqrt{2}|m|+m=1$. ① 当 $m>0$ 时， $\sqrt{2}m+m=1⟹m=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$； ② 当 $m<0$ 时， $-\sqrt{2}m+m=1⟹m=\frac{1}{1-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-1$. 综上所述， $m=\sqrt{2}-1$ 或 $m=-\sqrt{2}-1$.

(2) 函数 $y=f(x)-kx$ 存在零点，即方程 $x+2+\frac{m}{x}-kx=0$ 在 $x\ne 0$ 时有实数解. 去分母变形得： $(1-k)x^2+2x+m=0$ （$\star$）

① 当 $k=1$ 时，方程（$\star$）化为 $2x+m=0$，解得 $x=-\frac{m}{2}$. 因为 $m\ne 0$，所以 $x\ne 0$，符合题意.

② 当 $k\ne 1$ 时，方程（$\star$）为一元二次方程，其有解的充要条件为： $\Delta =4-4(1-k)m=4(1-m+km)\ge 0⟹km\ge m-1$ 由于 $m\ne 0$，需对 $m$ 的符号进行分类讨论：

1. 若 $m>0$，由 $km\ge m-1$ 得 $k\ge \frac{m-1}{m}=1-\frac{1}{m}$. 结合 $k\ne 1$，方程的解为 $x=\frac{-1\pm \sqrt{1-m+km}}{1-k}$. 综合 $k=1$ 的情形，当 $m>0$ 且 $k\ge 1-\frac{1}{m}$ 时函数存在零点.
2. 若 $m<0$，由 $km\ge m-1$ 得 $k\le \frac{m-1}{m}=1-\frac{1}{m}$. 此时易知 $1-\frac{1}{m}>1$，故 $k=1$ 已包含在内. 结合 $k\ne 1$，方程的解为 $x=\frac{-1\pm \sqrt{1-m+km}}{1-k}$. 综合 $k=1$ 的情形，当 $m<0$ 且 $k\le 1-\frac{1}{m}$ 时函数存在零点.

总结结论如下：

• 当 $m>0$ 且 $k\ge 1-\frac{1}{m}$ 时，函数存在零点. 若 $k=1$，零点为 $x=-\frac{m}{2}$；若 $k\ge 1-\frac{1}{m}$ 且 $k\ne 1$，零点为 $x=\frac{-1\pm \sqrt{1-m+km}}{1-k}$.

• 当 $m<0$ 且 $k\le 1-\frac{1}{m}$ 时，函数存在零点. 若 $k=1$，零点为 $x=-\frac{m}{2}$；若 $k\le 1-\frac{1}{m}$ 且 $k\ne 1$，零点为 $x=\frac{-1\pm \sqrt{1-m+km}}{1-k}$.

• 其余情况下，函数不存在零点.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与极值对应规则、利用 AM-GM 不等式求多元最值、含参方程根的严密讨论。

2. 核心方法：双参数讨论时，务必分清主元。本题第(2)问中，应先对系数 $1-k$ 分类，再对 $\Delta$ 进行关于 $m$ 正负号的去绝对值/不等式方向讨论。

3. 避坑指南：第(1)问中开方去掉 $|m|$ 时极易漏掉 $m<0$ 的分支；第(2)问容易忽视 $x\ne 0$ 的隐含限制，须通过 $m\ne 0$ 判定 $x=0$ 绝非方程的根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由经典的“对勾函数” $x+\frac{m}{x}$ 及其衍生几何距离模型改编而成，主要考查解析几何核心距离公式与代数最值工具的交汇。

2. 结论推广：对于任意双曲型曲线 $y=x+\frac{m}{x}$，其上动点到 $y$ 轴上定点 $(0,b)$ 的距离平方，通过展开总能转化为形如 $A{x}^2+\frac{B}{x^2}+C$ 的结构，可利用均值定理快速定位其空间临界极值点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式