2009-广东卷理-21 解-几何证明

本题导读

本题为2009年广东高考理科数学的压轴题，巧妙地将解析几何（圆的切线与切点）、数列（通项公式与乘积）以及函数与导数（不等式证明）进行了深度交汇。核心在于利用几何性质精确求出切点通项，并采用放缩法与构造函数法分别证明左右两边的不等式。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 已知曲线 $C_n:x^2-2nx+y^2=0$ ($n=1,2,\dots$). 从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_n$ 引斜率为 $k_n$ ($k_n>0$) 的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n,y_n)$.

(1) 求数列 $\{x_n\}$ 与 $\{y_n\}$ 的通项公式；

(2) 证明：$x_1\cdot x_3\cdot x_5\dots x_{2n-1}<\sqrt{\frac{1-x_n}{1+x_n}}<\sqrt{2}\sin \frac{x_n}{y_n}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：将曲线方程配方为圆的标准方程，利用点到直线的距离等于半径求出切线斜率 $k_n$；再由圆心与切点连线垂直于切线，联立方程组解出切点 $P_n$ 的坐标，得到通项公式。

2. 第(2)问：将通项公式代入中间式子化简为 $\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$。左边不等式利用大小放缩法（${\left(\frac{2k-1}{2k}\right)}^2<\frac{2k-1}{2k+1}$）进行逐项相乘消项证明；右边不等式令 $t=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，构造函数 $f(t)=\sqrt{2}\sin t-t$，利用导数证明其在对应区间上的单调性与正负性。

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原不等式得证

✍【详细解析】

Abstract

(1) 将曲线 $C_n$ 的方程配方得：$(x-n{)}^2+y^2=n^2$，表示以 $O_n(n,0)$ 为圆心，半径 $R_n=n$ 的圆。 依题意，切线 $l_n$ 过点 $P(-1,0)$ 且斜率 $k_n>0$，其方程为 $y=k_n(x+1)$，即 $k_{n}x-y+k_n=0$。 圆心 $O_n(n,0)$ 到切线的距离等于半径，得： $\frac{|k_n\cdot n-0+k_n|}{\sqrt{k_n^2+1}}=n⟹k_n^2(n+1{)}^2=n^2(k_n^2+1)$ 化简得 $k_n^2(2n+1)=n^2$，因 $k_n>0$，故 $k_n=\frac{n}{\sqrt{2n+1}}$。 由于切点 $P_n(x_n,y_n)$ 在切线上，且圆心与切点的连线 $O_n{P}_n\perp l_n$，其直线方程为 $x+k_{n}y-n=0$。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}{y}_n=k_n(x_n+1)\\ x_n+k_n{y}_n-n=0\end{array}⟹x_n+k_n^2(x_n+1)-n=0⟹x_n(1+k_n^2)=n-k_n^2$ 代入 $k_n^2=\frac{n^2}{2n+1}$ 得： $1+k_n^2=\frac{(n+1{)}^2}{2n+1},n-k_n^2=\frac{n(n+1)}{2n+1}$ 解得：$x_n=\frac{n}{n+1}$。 进一步求得：$y_n=k_n(x_n+1)=\frac{n}{\sqrt{2n+1}}\cdot \left(\frac{n}{n+1}+1\right)=\frac{n\sqrt{2n+1}}{n+1}$。 综上，数列 $\{x_n\}$ 与 $\{y_n\}$ 的通项公式分别为 $x_n=\frac{n}{n+1}$， $y_n=\frac{n\sqrt{2n+1}}{n+1}$。

(2) 将 $x_n=\frac{n}{n+1}$ 代入目标不等式的中间部分化简得： $\sqrt{\frac{1-x_n}{1+x_n}}=\sqrt{\frac{1-\frac{n}{n+1}}{1+\frac{n}{n+1}}}=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ 先证左边不等式： 由(1)可知 $x_n=\frac{n}{n+1}$，则 $x_{2k-1}=\frac{2k-1}{2k}$。 对于任意 $k\ge 1$，有： ${\left(x_{2k-1}\right)}^2={\left(\frac{2k-1}{2k}\right)}^2=\frac{4k^2-4k+1}{4k^2}<\frac{4k^2-4k+1}{4k^2-1}=\frac{(2k-1{)}^2}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{2k-1}{2k+1}$ 将各正项不等式两边分别从 $k=1$ 到 $n$ 相乘得： ${\left(x_1\cdot x_3\dots x_{2n-1}\right)}^2<\frac{1}{3}\times \frac{3}{5}\times \frac{5}{7}\times \cdots \times \frac{2n-1}{2n+1}=\frac{1}{2n+1}$ 两边开平方得：$x_1\cdot x_3\cdot x_5\dots x_{2n-1}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，左边成立。

再证右边不等式： 计算可得 $\frac{x_n}{y_n}=\frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{n\sqrt{2n+1}}{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$。 右边即证 $\frac{1}{\sqrt{2n+1}}<\sqrt{2}\sin \left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)$。 令 $t=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，因为 $n\ge 1$，所以 $2n+1\ge 3⟹0<t\le \frac{1}{\sqrt{3}}<\frac{\pi }{4}$。 构造函数 $f(t)=\sqrt{2}\sin t-t$ （$t\in (0,\frac{1}{\sqrt{3}}$]），对其求导： $f^{\prime }(t)=\sqrt{2}\cos t-1$ 因为 $t\in (0,\frac{1}{\sqrt{3}}$]，且 $\frac{1}{\sqrt{3}}<\frac{\pi }{4}$，所以在该区间内 $\cos t>\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 从而 $f^{\prime }(t)>\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-1=0$，函数 $f(t)$ 在 $(0,\frac{1}{\sqrt{3}}$] 上单调递增。 所以 $f(t)>f(0)=0⟹t<\sqrt{2}\sin t$，即 $\frac{1}{\sqrt{2n+1}}<\sqrt{2}\sin \left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)$，右边成立。 综上所述，原不等式得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的割线与切线代数化表达、 Wallis 乘积型不等式的放缩技巧、超越不等式的导数证明法。

2. 核心方法：采用“平方放缩”技巧处理 $\frac{2k-1}{2k}$ 的连乘积问题；通过换元法 $t=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ 将复杂的数列项转化为简明的连续函数问题。

3. 避坑指南：求切点坐标时计算容易繁琐，注意充分利用 $k_n^2$ 的代数式进行化简；在证明右边不等式时，必须精确给出自变量 $t$ 的取值范围，以确保导数大于 0 的严密性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题左侧的不等式源于数学分析中著名的 Wallis 公式（瓦里斯公式）的初等放缩估值；右侧则基于 Jordan 不等式（约当不等式）在小弧度区间内的局部强化变形。

2. 结论推广：对于更一般的连乘积，有如下经典界限：$\frac{1}{\sqrt{4n}}\le \frac{1\cdot 3\cdot 5\dots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\dots (2n)}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$。而在 $t\in (0,\frac{\pi }{2})$ 上，有通式 $\sin t>t-\frac{t^3}{6}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式