2009-新课标卷文-22 解-四点共圆与角平分线

本题导读

几何证明选讲。$\angle B=60^{\circ }$ 使 $\angle A+\angle C=120^{\circ }$，计算 $\angle BDH$ 与 $\angle BEH$ 之和恰为 $180^{\circ }$ 得四点共圆；再由同弧圆周角与等腰三角形角度关系证 $CE$ 平分 $\angle DEF$。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 如图，已知 $△ABC$ 的两条角平分线 $AD$ 和 $CE$ 相交于 $H$，$\angle B=60^{\circ }$，$F$ 在 $AC$ 上，且 $AE=AF$.

(1)证明：$B$，$D$，$H$，$E$ 四点共圆；

(2)证明：$CE$ 平分 $\angle DEF$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 用 $A+C=120^{\circ }$：$\angle BDH=120^{\circ }-\frac{A}{2}$，$\angle BEH=120^{\circ }-\frac{C}{2}$，相加得 $180^{\circ }$（对角互补）。
2. (2) $H$ 是内心，$BH$ 平分 $\angle B$；在圆 $BDHE$ 中 $\angle DEH=\angle DBH=30^{\circ }$。另一方面 $AE=AF$ 给出 $\angle AEF=90^{\circ }-\frac{A}{2}$，与 $\angle AEC=90^{\circ }-\frac{A}{2}+\frac{C}{2}$ 相减得 $\angle CEF=30^{\circ }$，故 $\angle DEC=\angle CEF$。

✅【答案】

点击查看答案

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1） 记 $\angle A=A$，$\angle C=C$。由 $\angle B=60^{\circ }$ 得 $A+C=120^{\circ }$。 $D$ 在 $BC$ 上、$H$ 在 $AD$ 上，故 $\angle BDH=\angle BDA=180^{\circ }-60^{\circ }-\frac{A}{2}=120^{\circ }-\frac{A}{2}.$ $E$ 在 $AB$ 上、$H$ 在 $CE$ 上，且 $CE$ 平分 $\angle C$，在 $△BEC$ 中 $\angle BEH=\angle BEC=180^{\circ }-60^{\circ }-\frac{C}{2}=120^{\circ }-\frac{C}{2}.$ 于是 $\angle BDH+\angle BEH=240^{\circ }-\frac{A+C}{2}=240^{\circ }-60^{\circ }=180^{\circ },$ 所以 $B$，$D$，$H$，$E$ 四点共圆。

（2） $AD$ 与 $CE$ 是两条角平分线，其交点 $H$ 是 $△ABC$ 的内心，故 $BH$ 也平分 $\angle B$。 在圆 $BDHE$ 中，$\angle DEH$ 与 $\angle DBH$ 为同弧所对的圆周角，且 $E$，$H$，$C$ 三点共线，故 $\angle DEC=\angle DEH=\angle DBH=\frac{1}{2}\angle B=30^{\circ }.$ 另一方面，$AE=AF$，$△AEF$ 为等腰三角形，$E$ 在 $AB$ 上、$F$ 在 $AC$ 上，$\angle EAF=A$，故 $\angle AEF=\frac{180^{\circ }-A}{2}=90^{\circ }-\frac{A}{2}.$ 在 $△AEC$ 中，$\angle EAC=A$，$\angle ACE=\frac{C}{2}$，故 $\angle AEC=180^{\circ }-A-\frac{C}{2}.$ 由图中射线顺序 $EA$、$EF$、$EC$ 可得 $\angle CEF=\angle AEC-\angle AEF=\left(180^{\circ }-A-\frac{C}{2}\right)-\left(90^{\circ }-\frac{A}{2}\right)=90^{\circ }-\frac{A+C}{2}.$ 由 $A+C=120^{\circ }$ 得 $\angle CEF=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$。 于是 $\angle DEC=\angle CEF=30^{\circ }$，所以 $CE$ 平分 $\angle DEF$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四点共圆的判定与圆周角定理

核心方法：对角互补判共圆 + 同弧圆周角转移角

避坑指南：证 $CE$ 平分 $\angle DEF$ 需分别算出 $\angle DEC$ 与 $\angle CEF$，$\angle CEF$ 的计算要用射线顺序相减，方向别减反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何证明选讲中”角平分线 + 四点共圆”是经典组合。

结论推广：对角互补 $⟺$ 四点共圆；同弧所对圆周角相等。

方法推广：内心 $H$ 提供第三条角平分线 $BH$，是转移角度的枢纽。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-22 解-相交弦与四点共圆
• 2013-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲
• 2014-大纲卷文-22 解-抛物线与四点共圆