2014-大纲卷文-22 解-抛物线与四点共圆

本题导读

(1) $\frac{8}{p}+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}\cdot \frac{8}{p}$ 得 $p=2$，$C:y^2=4x$；(2) 设 $l:x=my+1$，$D$ 为 $AB$ 中点，四点共圆 $⟺DA\cdot DB=DM\cdot DN⟺m^2=1$，$l:x-y-1=0$ 或 $x+y-1=0$。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 已知抛物线 $C:y^2=2px$ $(p>0)$ 的焦点为 $F$，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$，与 $C$ 的交点为 $Q$，且 $|QF|=\frac{5}{4}|PQ|$.

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$、$B$ 两点，若 $AB$ 的垂直平分线 $l^{\prime }$ 与 $C$ 相交于 $M$、$N$ 两点，且 $A$、$M$、$B$、$N$ 四点在同一圆上，求 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) $\frac{8}{p}+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}\cdot \frac{8}{p}$ 得 $p=2$，$C:y^2=4x$；(2) 设 $l:x=my+1$，$D$ 为 $AB$ 中点，四点共圆 $⟺DA\cdot DB=DM\cdot DN⟺m^2=1$，$l:x-y-1=0$ 或 $x+y-1=0$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $C$ 的方程为 $y^2=4x$ (2) $l$ 的方程为 $x-y-1=0$ 或 $x+y-1=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $y=4$ 代入 $y^2=2px$ 得 $Q\left(\frac{8}{p},4\right)$，$P(0,4)$，$|PQ|=\frac{8}{p}$。

焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，由抛物线定义 $|QF|=x_Q+\frac{p}{2}=\frac{8}{p}+\frac{p}{2}$。

由 $\frac{8}{p}+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}\times \frac{8}{p}=\frac{10}{p}$，得 $\frac{p}{2}=\frac{2}{p}$，$p^2=4$，$p=2$。

所以 $C$ 的方程为 $y^2=4x$。

(2) 此时 $F(1,0)$。$l$ 与坐标轴不垂直也不水平（否则 $l^{\prime }$ 或 $l$ 与 $C$ 不能交于两点），设 $l:x=my+1$（$m\ne 0$）。

代入 $y^2=4x$：$y^2-4my-4=0$，$y_1+y_2=4m$，$y_1{y}_2=-4$。

弦 $AB$ 的中点 $D\left(2m^2+1,2m\right)$，$|AB|=\sqrt{1+m^2}\cdot |y_1-y_2|=\sqrt{1+m^2}\cdot \sqrt{16m^2+16}=4(1+m^2)$。

$l^{\prime }$ 的斜率为 $-\frac{1}{m}$，方程 $y-2m=-\frac{1}{m}(x-2m^2-1)$。

代入 $y^2=4x$ 整理得关于 $y$ 的方程：$y^2+\frac{4}{m}y-\left(8m^2+12\right)=0$，其两根对应 $M$、$N$：

$y_3+y_4=-\frac{4}{m}$，$y_3{y}_4=-(8m^2+12)$。

$MN$ 的中点 $E$：$y_E=-\frac{2}{m}$，$x_E=2m^2+3+\frac{2}{m^2}$（由 $y_E=-\frac{1}{m}(x_E-2m^2-1)+2m$ 反解）。$D$ 在 $l^{\prime }$ 上，故 $M$、$N$、$D$ 共线，

$DM\cdot DN={\left(\frac{|MN|}{2}\right)}^2-|ED{|}^2$。

$|MN|=\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}|y_3-y_4|$，$|y_3-y_4{|}^2=\frac{16}{m^2}+4(8m^2+12)=\frac{16(2m^2+1)(m^2+1)}{m^2}$，

$|ED{|}^2=4{\left(1+\frac{1}{m^2}\right)}^2+4{\left(\frac{1}{m}+m\right)}^2=\frac{4(1+m^2{)}^3}{m^4}$，

所以 $DM\cdot DN=\frac{(1+m^2)(2m^2+1)(1+m^2)}{m^2}-\frac{4(1+m^2{)}^3}{m^4}=\frac{4(1+m^2{)}^2}{m^2}$。

（化简过程：$\frac{|MN{|}^2}{4}=\frac{(1+m^2)}{1}\cdot \frac{4(2m^2+1)(m^2+1)}{m^2}=\frac{4(1+m^2{)}^2(2m^2+1)}{m^2}$，与 $|ED{|}^2$ 通分相减得 $\frac{4(1+m^2{)}^2}{m^2}\left[(2m^2+1)-(1+m^2)\right]=\frac{4(1+m^2{)}^2}{m^2}\cdot m^2\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{1}$，整理即得。）

四点 $A$、$M$、$B$、$N$ 共圆，圆的弦 $AB$ 与 $MN$ 相交于 $D$，由相交弦定理的等价刻画：

$DA\cdot DB=DM\cdot DN$。

$DA\cdot DB={\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=4(1+m^2{)}^2$，故 $4(1+m^2{)}^2=\frac{4(1+m^2{)}^2}{m^2}$，得 $m^2=1$，$m=\pm 1$。

所以 $l$ 的方程为 $x-y-1=0$ 或 $x+y-1=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的定义（焦半径）；直线与抛物线联立；相交弦定理与四点共圆的等价条件

2. 核心方法：焦半径公式列方程；"$DA\cdot DB=DM\cdot DN$"把共圆翻译成可计算的乘积

3. 避坑指南：①(2) 中 $D$ 既是 $AB$ 中点又在 $l^{\prime }$ 上（垂直平分线），$DM\cdot DN$ 要用"$E{M}^2-E{D}^2$"（$E$ 为 $MN$ 中点）拆算，直接写 $DM\cdot DN=\frac{M{N}^2}{4}$ 是错的——$D$ 不是 $MN$ 中点；②$DM\cdot DN$ 带符号（相交弦定理中的有向乘积），本题 $D$ 在圆内两弦之间，乘积为正；③$|MN|$ 的计算里 $\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}$ 是 $l^{\prime }$ 方向的斜率因子，别用 $\sqrt{1+m^2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线综合压轴题（doc 考点定位：抛物线），与 2014 年新课标Ⅰ理第 10 题（抛物线焦点弦）、新课标Ⅱ文第 10 题同章。

2. 结论推广: 一般地，圆内两弦 $AB$、$MN$ 交于 $D$ 时 $DA\cdot DB=DM\cdot DN$，反之四点共圆也可由该等积式反推——这是”四点共圆”在圆锥曲线中的标准代数化路径。

3. 方法推广: 圆锥曲线的四点共圆问题：选定两条”弦”和交点，把共圆翻译成相交弦等积式，再用韦达定理表示各段长度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义