2009-江苏卷-23 解-计数与概率不等式

本题导读

考查计数与概率证明。(1) $T_{n^2}=\sum i^2+(n^2-n)n^2$，$P_{n^2}=1-\frac{(n-1)(4n+1)}{6n^3}$；(2) 不合格组数 $<n\sqrt{n}$ 得 $P_n>1-\frac{1}{\sqrt{n}}$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 对于正整数 $n⩾2$，用 $T_n$ 表示关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2ax+b=0$ 有实数根的有序数组 $(a,b)$ 的组数，其中 $a$，$b\in \{1,2,\cdots ,n\}$（$a$ 和 $b$ 可以相等）；对于随机选取的 $a$，$b\in \{1,2,\cdots ,n\}$（$a$ 和 $b$ 可以相等），记 $P_n$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2ax+b=0$ 有实数根的概率.

(1) 求 $T_{n^2}$ 和 $P_{n^2}$；

(2) 求证：对任意正整数 $n⩾2$，有 $P_n>1-\frac{1}{\sqrt{n}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 有实数根 $\iff b⩽a^2$。$a,b\in \{1,\cdots ,n^2\}$：$1⩽i⩽n$ 时 $b$ 有 $i^2$ 种，$i>n$ 时全可取。
2. (1) 用平方和公式求和并化简。
3. (2) 不合格 $\iff b>a^2$，须 $a^2<n$，这样的 $a$ 少于 $\sqrt{n}$ 个，每个对应的不合格 $b$ 少于 $n$ 个。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $T_{n^2}=\frac{n(6n^3-4n^2+3n+1)}{6}$，$P_{n^2}=1-\frac{(n-1)(4n+1)}{6n^3}$；(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 方程 $x^2+2ax+b=0$ 有实数根的充要条件是判别式 $\Delta =(2a{)}^2-4b=4(a^2-b)⩾0$，即 $b⩽a^2$。 计算 $T_{n^2}$ 时，令 $a=i$，$b=j$，其中 $i,j\in \{1,2,\cdots ,n^2\}$。当 $1⩽i⩽n$ 时，可取的 $j$ 有 $i^2$ 个； 当 $n+1⩽i⩽n^2$ 时，$i^2⩾n^2$，所有 $n^2$ 个 $j$ 均可取。所以 $T_{n^2}={\sum }_{i=1}^n{i}^2+(n^2-n)n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n^4-n^3=\frac{n(6n^3-4n^2+3n+1)}{6}$。 因此 $P_{n^2}=\frac{T_{n^2}}{n^4}=1-\frac{(n-1)(4n+1)}{6n^3}$。 (2) 在 $a,b\in \{1,2,\cdots ,n\}$ 时，不满足有实数根的数组必须满足 $b>a^2$，这要求 $a^2<n$，即 $a<\sqrt{n}$。 这样的正整数 $a$ 少于 $\sqrt{n}$ 个，而每个 $a$ 对应的不合格 $b$ 的数量 $n-a^2<n$。 因此不合格数组总数严格小于 $n\sqrt{n}$。于是 $1-P_n=\frac{\text{不合格数组数}}{n^2}<\frac{n\sqrt{n}}{n^2}=\frac{1}{\sqrt{n}}$， 从而 $P_n>1-\frac{1}{\sqrt{n}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：计数与概率不等式

核心方法：分段计数 + 上界估计

避坑指南：(2) 的关键是”不合格的 $a$ 少于 $\sqrt{n}$ 个”这一严格不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：压轴题把方程实根条件转成 $b⩽a^2$ 的计数。

结论推广：(1) 对 $i$ 分两段：$i⩽n$ 用平方和，$i>n$ 全取。

方法推广：证明用严格不等号，注意 $P_n$ 中 $a,b\in \{1,\cdots ,n\}$ 与 (1) 中 $n^2$ 的区别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-23 解-同余分类计数
• 2011-四川卷文-12 单-向量面积计数
• 2009-大纲卷II文-10 单-选课组合计数