2009-大纲卷II文-10 单-选课组合计数

本题导读

考查计数应用。先选两人公共的 $1$ 门（$4$ 种），甲再从剩余 $3$ 门选 $1$ 门，乙从剩余 $3$ 门中选与甲不同的 $1$ 门（$2$ 种）。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 甲、乙两人从 $4$ 门课程中各选修 $2$ 门，则甲、乙所选的课程中恰有 $1$ 门相同的选法有 ()

A. $6$ 种　　　　　B. $12$ 种　　　　　C. $24$ 种　　　　　D. $30$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 公共课程：${\mathrm{C}}_4^1=4$ 种。
2. 甲的另一门：剩余 $3$ 门中选 $1$，$3$ 种。
3. 乙的另一门：须与甲的另一门不同（否则两门相同），剩 $2$ 种。共 $4\times 3\times 2=24$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

恰有 $1$ 门相同，分三步：

• 公共课程：从 $4$ 门中选 $1$ 门，共 ${\mathrm{C}}_4^1=4$ 种；
• 甲的另一门：从剩余 $3$ 门中选 $1$ 门，共 $3$ 种；
• 乙的另一门：若与甲的另一门相同则两人有两门相同，故只能从再剩下的 $2$ 门中选，共 $2$ 种。 由分步乘法计数原理，选法共有 $4\times 3\times 2=24\text{种},$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类计数原理与组合

核心方法：先定公共元素，再分配剩余

避坑指南：乙的另一门不能与甲的另一门相同（否则两门相同），剩余只有 $2$ 种，直接 $4\times 3\times 3$ 就会错成 $36$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“恰有”型计数按特殊元素归属分类。

结论推广：分步相乘、分类相加；“恰有 1 门相同”锁定公共门后其余两门必须互异。

方法推广：计数题最后用”对称检验”：交换甲乙不改变总数，可快速排错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-07 单-组合计数
• 2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用