2009-江西卷理-04 单-三角恒等

本题导读

本题考查三角函数的化简与最值求解，核心在于通过切化弦和辅助角公式将原函数转化为 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的形式，再结合定义域求出最值。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 若函数 $f(x)=(1+\sqrt{3}\tan x)\cos x,0⩽x<\frac{\pi }{2}$，则 $f(x)$ 的最大值为 ()

A. $1$　　　　　　B. $2$　　　　　　C. $\sqrt{3}+1$　　　　　　D. $\sqrt{3}+2$

🔍【思路分析】

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1. 将 $\tan x$ 化为 $\frac{\sin x}{\cos x}$ 展开表达式。
2. 运用辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 进行化简。
3. 根据 $x$ 的范围确定整体相位的范围，进而得出正弦函数的最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=(1+\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x})\cos x=\cos x+\sqrt{3}\sin x$。 提取系数 $2$，利用辅助角公式得： $f(x)=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。 因为 $0⩽x<\frac{\pi }{2}$，所以 $\frac{\pi }{6}⩽x+\frac{\pi }{6}<\frac{2\pi }{3}$。 当 $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{3}$ 时，$\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 $1$。 此时 $f(x)$ 的最大值为 $2\times 1=2$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切化弦变换，辅助角公式的应用，限定区间内三角函数的最值。
2. 核心方法：化归为单一三角函数式 $A\sin (\omega x+\phi )$ 的通法。
3. 避坑指南：得出化简式后，必须代入 $x$ 的定义域求出相位 $x+\frac{\pi }{6}$ 的范围，不可盲目认定最大值即为振幅 $A$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数经典的小综合题型。
2. 结论推广: 遇到正余弦一次式的线性组合，首选辅助角公式；存在切函数时，优先“切化弦”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数