2009-江西卷理-07 单-二项式定理

本题导读

本题考查多项式展开式的系数和问题，核心在于灵活运用赋值法。求“系数绝对值的和”时，需将对应字母的系数取绝对值后再进行整体赋值。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） $(1+ax+by{)}^n$ 展开式中不含 $x$ 的项的系数绝对值的和为 243, 不含 $y$ 的项的系数绝对值的和为 32, 则 $a,b,n$ 的值可能为 ()

A. $a=2,b=-1,n=5$　　　　　　　　　　　　B. $a=-2,b=-1,n=6$

C. $a=-1,b=2,n=6$　　　　　　　　　　　　D. $a=1,b=2,n=5$

🔍【思路分析】

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1. 不含 $x$ 的项相当于令 $x=0$，此时表达式退化为 $(1+by{)}^n$。
2. 求 $(1+by{)}^n$ 展开式中所有项系数绝对值的和，相当于令变量 $y=1$，且将 $b$ 替换为其绝对值 $|b|$，即求 $(1+|b|{)}^n$ 的值。
3. 同理，不含 $y$ 的项的系数绝对值之和对应 $(1+|a|{)}^n$。
4. 解指数方程求出 $|a|,|b|,n$，再对照选项进行筛选。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

令 $x=0$，原多项式变为 $(1+by{)}^n$。 其展开式各项系数绝对值的和，相当于将二项式中的系数换为其绝对值后再令 $y=1$， 即 $(1+|b|{)}^n=243=3^5$ ①。

同理，令 $y=0$，原多项式变为 $(1+ax{)}^n$。 其展开式各项系数绝对值的和为 $(1+|a|{)}^n=32=2^5$ ②。

对比①②，显然有 $n=5$。 代入得 $1+|b|=3⟹|b|=2$； $1+|a|=2⟹|a|=1$。 所以 $|a|=1,|b|=2,n=5$。 观察选项： (A) $a=2⟹|a|=2$，不符； (B) $n=6$，不符； (C) $n=6$，不符； (D) $a=1,b=2,n=5⟹|a|=1,|b|=2,n=5$，完全符合。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的系数和与各项系数绝对值之和。
2. 核心方法：特殊值代入法（赋值法）。
3. 避坑指南：求“系数绝对值之和”与求“系数之和”不同。求系数和直接令变量为1；求绝对值之和，若原项中有负号，需先将其化为正数（即取绝对值）后再令变量为1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项式定理中经典的赋值法变式题，扩展到了三项式。
2. 结论推广: 对于多项式 $(A_1{x}_1+A_2{x}_2+\cdots +A_k{x}_k{)}^n$，其所有项系数绝对值之和等于 $(|A_1|+|A_2|+\cdots +|A_k|{)}^n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理