2009-江西卷理-08 单-三角恒等

本题导读

本题考查三角函数化简与周期性数列的求和问题，核心在于利用余弦的二倍角公式化简通项，并发现其周期规律，采用分组求和法是解题关键。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=n^2\left({\cos }^2\frac{n\pi }{3}-{\sin }^2\frac{n\pi }{3}\right)$, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 则 $S_{30}$ 为 ()

A. 470　　　　　　B. 490　　　　　　C. 495　　　　　　D. 510

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用余弦的二倍角公式将通项化简为包含 $\cos \frac{2n\pi }{3}$ 的式子。
2. 分析 $\cos \frac{2n\pi }{3}$ 随 $n$ 变化的周期规律，发现周期为 3。
3. 将 $S_{30}$ 中的项按 3 项一组进行分组求和。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ 可得： $a_n=n^2\cos \left(2\cdot \frac{n\pi }{3}\right)=n^2\cos \frac{2n\pi }{3}$。 当 $n=1,2,3,4,5,6,\cdots$ 时，$\cos \frac{2n\pi }{3}$ 的值分别为 $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,\cdots$，呈现以 3 为周期的规律。 将前 30 项按每 3 项一组分为 10 组。第 $k$ 组 ($k=1,2,\cdots ,10$) 的项对应的 $n$ 依次为 $3k-2,3k-1,3k$。 第 $k$ 组各项之和为： $A_k=(3k-2{)}^2\left(-\frac{1}{2}\right)+(3k-1{)}^2\left(-\frac{1}{2}\right)+(3k{)}^2\cdot 1$ $=-\frac{1}{2}[(3k-2{)}^2+(3k-1{)}^2]+9k^2$ $=-\frac{1}{2}[18k^2-18k+5]+9k^2$ $=9k-\frac{5}{2}$。 所以前 30 项的和 $S_{30}$ 为这 10 组之和： $S_{30}={\sum }_{k=1}^{10}{A}_k={\sum }_{k=1}^{10}\left(9k-\frac{5}{2}\right)$ $=9\times \frac{10\times 11}{2}-10\times \frac{5}{2}$ $=495-25=470$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式，周期数列的分组求和。
2. 核心方法：先化简，找周期，再分组求和。
3. 避坑指南：分组后计算组内元素和（即 $A_k$ 的表达式）时，展开完全平方公式极易出现符号或系数运算错误，需格外仔细。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考常考的“三角+数列”综合题，利用三角函数的周期性构造周期数列。
2. 结论推广: 遇到含有三角函数因式的数列求和，首要任务是化简三角式，观察其周期 $T$，然后将整个和式按 $T$ 项一组合并，通常能得到一个等差或等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷理-18 单-数列与三角
• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2011-上海卷文-02 填-数列极限