2009-江西卷理-12 单-函数

本题导读

本题考查函数的定义域、值域及其构成的二维区域特征。解题关键在于将点 $(s,f(t))$ 构成正方形这一几何条件，严格等价转化为函数 $f(x)$ 定义域区间的长度与其值域区间的长度相等。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 设函数 $f(x)=\sqrt{a{x}^2+bx+c}$ ($a<0$) 的定义域为 $D$, 若所有点 $(s,f(t))$ ($s,t\in D$) 构成一个正方形区域, 则 $a$ 的值为 ()

A. $-2$　　　　　　B. $-4$　　　　　　C. $-8$　　　　　　D. 不能确定

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据点 $(s,f(t))$ 的构成可知，横坐标 $s\in D$，纵坐标 $f(t)$ 属于函数 $f(x)$ 在 $D$ 上的值域。
2. “构成一个正方形区域”意味着横坐标的跨度（定义域区间的长度）等于纵坐标的跨度（值域区间的长度）。
3. 求出 $a{x}^2+bx+c⩾0$ 的区间长度，以及 $f(x)$ 在此区间上的最大值（即值域上限，下限为0）。
4. 建立等式，解出参数 $a$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $f(x)=\sqrt{a{x}^2+bx+c}$ 的定义域为 $D$，且 $a<0$， 所以 $D$ 是不等式 $a{x}^2+bx+c⩾0$ 的解集。 设方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1,x_2$ ($x_1<x_2$)，则定义域 $D=[x_1,x_2]$。 定义域区间的长度为 $\Delta x=x_2-x_1=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{-a}$ （注意 $a<0$，故分母为 $-a$）。 又因为 $t\in D$，所以二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 在区间 $[x_1,x_2]$ 上的最小值为 0，最大值在顶点处取得。 其最大值为 $y_{\text{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{b^2-4ac}{-4a}$。 所以 $f(t)$ 的值域为 $[0,\sqrt{\frac{b^2-4ac}{-4a}}]$。 值域区间的长度为 $\Delta y=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{-4a}}$。 由于点 $(s,f(t))$ 构成一个正方形区域，故横向长度必等于纵向长度，即 $\Delta x=\Delta y$。 所以有 $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{-a}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{-4a}}$。 因为定义域构成区间，必有 $b^2-4ac>0$，两边同时约去 $\sqrt{b^2-4ac}$，得： $\frac{1}{-a}=\frac{1}{\sqrt{-4a}}$。 两边平方，得 $\frac{1}{a^2}=\frac{1}{-4a}$。 即 $a^2=-4a$。 因为 $a<0$，解得 $a=-4$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数定义域与值域的求法，一元二次方程根与系数的关系。
2. 核心方法：将区域形状特征（正方形）翻译为代数等式（区间长度相等）。
3. 避坑指南：写两根之差 $|x_2-x_1|=\frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}$ 时，极易因忽略 $a<0$ 的条件而写成 $\frac{\sqrt{\Delta }}{a}$，导致后续平方时符号出错或无法化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 考查函数基本性质的综合应用，通过“点集图形化”包装了最传统的值域计算。
2. 结论推广: 若点集 $(f(s),g(t))$ 构成矩形，其面积公式即为 $f(x)$ 的极差乘以 $g(x)$ 的极差。此类将代数变量独立组合构成点集的思想在解析几何轨迹问题中也有广泛应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性