2009-江西卷理-14 填-立体几何

本题导读

本题考查球的内接多面体及体积计算。关键在于利用球面距离求出正三棱柱底面边长，再结合球的截面性质求出棱柱的高。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 内接于半径为 2 的球，若 $A,B$ 两点的球面距离为 $\pi$，则正三棱柱的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据 $A,B$ 的球面距离和球的半径，求出球心角 $\angle AOB$，进而得出底面边长 $AB$。
2. 算出底面正三角形的外接圆半径，利用球心、底面外心和底面顶点的直角三角形求出球心到底面的距离，从而得到棱柱的高。
3. 利用体积公式计算结果。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

设球心为 $O$，半径 $R=2$。 因为 $A,B$ 两点的球面距离为 $\pi$，即劣弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 的长为 $\pi$， 所以球心角 $\angle AOB=\frac{\pi }{R}=\frac{\pi }{2}$。 在 $\text{Rt}△AOB$ 中，$OA=OB=2$，故 $AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。 由于 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 为正三棱柱，底面 $△ABC$ 是边长为 $2\sqrt{2}$ 的正三角形。 其外接圆半径 $r=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。 底面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (2\sqrt{2}{)}^2=2\sqrt{3}$。 设球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $d$，由勾股定理得： $d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{4-\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。 由正三棱柱及球的对称性可知，棱柱的高 $h=2d=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。 所以正三棱柱的体积 $V=S\cdot h=2\sqrt{3}\times \frac{4\sqrt{3}}{3}=8$。 故答案为 $8$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球面距离公式，正棱柱外接球的几何性质。
2. 核心方法：构造由球心、小圆圆心、圆上一点组成的直角三角形求解弦长或距离。
3. 避坑指南：明确“球面距离”是指经过两点的大圆上的劣弧长；计算棱柱高时注意 $h=2d$，极易漏乘 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 立体几何中经典的外接球模型。
2. 结论推广: 对于底面外接圆半径为 $r$、高为 $h$ 的正棱柱，其外接球半径 $R$ 恒满足 $R^2=r^2+(\frac{h}{2}{)}^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积
• 2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积
• 2011-江西卷文-18 解-翻折棱锥体积与垂直