2009-江西卷理-15 填-不等式

本题导读

本题考查无理不等式的求解，直接代数变形较为繁琐且易错，核心破局点在于构造函数并运用数形结合，将不等式转化为半圆与直线的上下位置关系进行分析。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 若不等式 $\sqrt{9-x^2}⩽k(x+2)-\sqrt{2}$ 的解集为区间 $[a,b]$，且 $b-a=2$，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $y_1=\sqrt{9-x^2}$ ($y_1⩾0$)，其图象为圆心在原点、半径为 3 的上半圆。
2. 令 $y_2=k(x+2)-\sqrt{2}$，其图象为恒过定点 $P(-2,-\sqrt{2})$ 的直线。
3. 不等式转化为在解集区间内，直线的图象在半圆图象的上方。结合半圆的上凸性及定义域边界，推断出解集的右端点必然为 $x=3$，进而得出左端点 $a=1$。
4. 将点 $(1,2\sqrt{2})$ 代入直线方程求解 $k$。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $y_1=\sqrt{9-x^2}$，图象是圆 $x^2+y^2=9$ 在 $x$ 轴及上方的部分，定义域为 $[-3,3]$。 令 $y_2=k(x+2)-\sqrt{2}$，表示过定点 $P(-2,-\sqrt{2})$ 的直线。 不等式 $y_1⩽y_2$ 表示在区间 $[a,b]$ 上，直线在半圆的上方（或相交）。 注意到定点 $P(-2,-\sqrt{2})$ 在圆的内部（$(-2{)}^2+(-\sqrt{2}{)}^2=6<9$），且在 $x$ 轴下方。 因为半圆是向上凸的曲线，从圆内下方一点引出的直线，若要在某闭区间上位于半圆上方，该直线必与半圆相交于一点，且解集必然延伸至半圆的定义域端点。 若 $k<0$，直线向左上方倾斜，解集形式为 $[-3,x_0]$。此时 $b=x_0,a=-3$，由 $b-a=2$ 得 $x_0=-1$。交点为 $(-1,\sqrt{8})=(-1,2\sqrt{2})$。但过 $P(-2,-\sqrt{2})$ 和 $(-1,2\sqrt{2})$ 的直线斜率为 $3\sqrt{2}>0$，矛盾。 若 $k>0$，直线向右上方倾斜，解集形式为 $[x_1,3]$。此时 $b=3,a=x_1$，由 $b-a=2$ 得 $x_1=1$。 这说明直线与半圆的交点为 $x=1$，对应的纵坐标 $y_1=\sqrt{9-1^2}=2\sqrt{2}$。 将点 $(1,2\sqrt{2})$ 代入直线方程： $2\sqrt{2}=k(1+2)-\sqrt{2}$ 解得 $3k=3\sqrt{2}$，即 $k=\sqrt{2}$。 （验证：当 $k=\sqrt{2}$ 时，直线方程为 $y_2=\sqrt{2}x+\sqrt{2}$，易证在 $[1,3]$ 上 $y_2⩾y_1$ 恒成立，符合题意）。 故答案为 $\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象的几何意义，直线与圆的位置关系。
2. 核心方法：数形结合，将不等式解集对应为图象上下方的位置关系。
3. 避坑指南：切忌盲目两边平方，平方容易产生增根且难以处理区间长度条件。必须敏锐发现图形的凸性特征，判定解集必须靠拢定义域的端点（$-3$ 或 $3$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高中数学中非常经典的含根号不等式问题，常利用“圆+定点旋转直线”模型命题。
2. 结论推广: 处理 $\sqrt{r^2-x^2}⩽kx+m$ 类问题，画出半圆，找出直线所过的定点，讨论直线的旋转过程即可确定不同条件下的参数范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式